Поделиться Поделиться

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Лекция №8 Продолжение

Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

 
 Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 1


Рис.8.2 Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Решение задачи можно получить, устремляя внешний радиус цилиндра к бесконечности ( Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 2 ) и полагая, что на бесконечности ( Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 3 ) напряжения принимают предельное значение Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 4 , а на внутренней границе давление отсутствует. Граничные условия в этом случае можно записать в виде:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 5 : Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 6 , (8.28)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 7 : Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 8 (8.29)

Используя граничные условия, найдём константы A и B. Имеем:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 9 (8.30)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 10 (8.31)

Тогда поле перемещений определяется выражением:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 11 + Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 12 . (8.32)

На границе полости (при Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 13 ):

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 14 (8.33)

Поле напряжений определяется формулами:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 15 , (8.34)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 16 . (8.35)

На границе полости (при Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 17 ) радиальные напряжения равны нулю.

Тангенциальные сжимающие напряжения равны удвоенному давлению:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 18 (8.36)


Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внутреннего давления

 
 Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 19


Рис.8.4. Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внутреннего давления

Граничные условия в этом случае определяются выражениями:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 20 : Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 21 , (8.37)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 22 : Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 23 . (8.38)

Константы интегрирования A и B при этих условиях определяются выражениями:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 24 , (8.39)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 25 . (8.40)

Поле напряжений можно найти, используя следующие выражения:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 26 , (8.41)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 27 (8.42)

Для поля перемещений имеем:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 28 . (8.43)

Радиальные перемещения границы полости от внутреннего давления равны

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 29 . (8.44)

Последнее выражение используется в полевых испытаниях для определения модуля сдвига грунтов с помощью специального прибора прессометра, для чего в цилиндрической полости задаётся давление и определяется перемещение стенок полости.


8.2.2.4. Абсолютно жёсткое цилиндрическое тело в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Рассмотрим другой предельный случай, когда в среде, подверженной равномерному давлению находится абсолютно твёрдый цилиндр. Такая модель может описывать напряжённо деформированное состояние грунта и его воздействие на обделку, в том случае, когда жёсткость тоннельной обделки очень велика и тоннель расположен в слабых грунтах.

 
 Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 30


Рис.8.5. Абсолютно жесткое тело в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Граничные условия в этом случае имеют следующий вид:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 31 : Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 32 , (6.45)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 33 : Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 34 (6.46)

Константы интегрирования A и B при этих условиях определяются выражениями:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 9 , (6.47)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 36 . (6.48)

Поле напряжений можно найти, используя следующие выражения:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 37 , (6.49)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 38 (6.50)

На границе жёсткого включения, что соответствует воздействию среды на цилиндр, имеем:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 39 , (6.51)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 40 (6.52)

Для поля перемещений вблизи цилиндрического включения имеем:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 41 . (6.53)


Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 42 Рассмотрим более реальный случай - цилиндрическая полость, подкреплённая цилиндрической оболочкой при действии в среде равномерного давления.

Рис.8.4. Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Для цилиндра можно записать следующие граничные условия:

r = a: Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 43 , (8.54)

r = b: Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 44 , (8.55)

где Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 45 . Константы A1 и B1 в этом случае определяются выражениями

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 46 , (8.56)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 47 , (8.57)

где Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 48 и Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 49 упругие константы материала цилиндрической оболочки,

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 50 - нормальное давление грунта на оболочку.

Используя найденные константы A1 и B1, получим выражения для перемещений и напряжений в оболочке:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 51Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 52 , (8.58)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 53 , (8.59)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 54 . (8.60)

На границе со средой перемещение внешней поверхности оболочки имеет вид:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 55 (8.61)

Для среды, находящейся под постоянным гидростатическим давлением с цилиндрической полостью, контактирующей с цилиндрическим телом, можно записать следующие граничные условия:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 56 : Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 57 , (8.62)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 58 : Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 59 . (8.63)

Обозначив упругие константы, характеризующие среду Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 60 и Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 61 , и используя граничные условия, определим константы интегрирования A2 и B2.

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 62 , (8.64)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 63 (8.65)

Используя найденные константы A2 и B2, получим выражения для перемещений и напряжений в оболочке:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 64Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 65 , (8.66)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 66 , (8.67)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 67 . (8.68)

На границе полости перемещение имеет вид:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 68 (8.69)

Приравнивая нормальные перемещения внешней поверхности оболочки и границы полости, получим выражение для определения нормального давления на поверхность цилиндра:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 69 . (8.70)

Для тонкостенного цилиндра, полученное выражение можно упростить, полагая Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 70 и введя обозначение Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 71 для толщины цилиндра. Имеем

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 72 (8.71)

Отметим, что давление на цилиндр зависит от жёсткости цилиндра. При увеличении жёсткости цилиндра давление на цилиндр приближается к предельному значению

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 73 . (8.72)

При уменьшении жёсткости цилиндра давление на цилиндр уменьшается и в пределе равно нулю.

Выражение (8.71) можно представить в другом виде, используя более употребительные упругие константы, учитывая соотношения:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 74 , (8.73)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 75 (8.74)

Полученное выражение имеет вид:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 76 (8.75)

Коэффициент включения в работу тоннельной обделки

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 77 (8.76)

Для тонкостенного цилиндра, с учётом принятых выше обозначений ( Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 78 и Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 79 ), имеем:

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 80 (8.77)

Коэффициент включения в работу тоннельной обделки

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления - Инвестирование - 81 (8.78)

Похожие статьи