Поделиться Поделиться

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Пусть (, S, Р), ( где – пространство элементарных событий, S – σ-алгебра, Р – вероятность) вероятностное пространство. Случайную величину Х, определённую на этом пространстве в математической статистике (МС) называют генеральной совокупностью. Исходными данными для любого статистического исследованиягенеральной совокупности являются результаты n-кратного измерения случайной величины Х. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что эти измерения (наблюдения) осуществляются в неизменных условиях и независимо друг от друга. Эти допущения позволяют интерпретировать n-кратное наблюдение случайной величины Х как однократное наблюдение случайного вектора Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 1 где все Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 2 являются независимыми случайными величинами с одной и той же функцией распределения вероятностейТочечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 3 которая совпадает с функцией распределения вероятности генеральной совокупности Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 4 Тем самым мы приходим к понятию выборки, которая является одним из основных понятий в математической статистике.

Определение 1.Случайной выборкой объёма n при Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 5 называется случайный вектор

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 1 (1)

координаты которого Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 7 Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 8 являются независимыми случайными величинами с одной и той же функцией распределения вероятностейТочечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 3 которая совпадает с функцией распределения вероятности генеральной совокупности Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 4 Случайные величины Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 8 называют элементами случайной выборки, а саму выборку Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 12 называют случайной выборкой из генеральной совокупности Х.

Определение 2. Реализацией случайной выборки (или просто выборкой) называется неслучайный вектор Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 13 координатами которого являются реализации соответствующих элементов случайной выборки Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 14

Выборку Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 15 можно рассматривать как совокупность n чисел

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 16 (2)

полученных в результате проведения n повторных независимых наблюдений над генеральной совокупностью Х.

Пусть задана выборка (1) и генеральная совокупность Х, имеющая функцию распределения вероятности, зависящую от параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 17 .

Пусть Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 18 (3)

- точечная оценка неизвестного параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 19 , построенная по выборке (1).

Так как Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 8 – независимые случайные величины, то точечная оценка (3) как функция случайных величин есть случайная величина. За приближенное значение параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 17 принимают реализацию Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 22 оценки (3), вычисленную по выборке Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 23

Оценка (3) называется:

1) несмещенной (без систематических ошибок), если Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 24 .

2) состоятельной, если Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 25 сходится к истинному значению параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 17 по вероятности, то есть

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 27 Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 28 .

3) несмещенная оценка называется эффективной, если у нее по сравнению с другими несмещенными оценками наименьшая дисперсия

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 29 .

Пусть Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 30 – какая-либо точечная оценка неизвестного параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 17 и пусть найдено число Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 32 такое, что выполняется равенство

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 33 . (4)

Равенство (4) означает, что интервал со случайными границами Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 34 с вероятностью Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 35 накрывает неизвестное истинное значение параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 17 .

При этом интервал Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 34 называется доверительным интервалом, а вероятность Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 38 – доверительной вероятностью (обычно выбирают Точечные и интервальные оценки параметров распределения - Инвестирование - 39 ).

← Предыдущая страница | Следующая страница →