Поделиться Поделиться

Точки разрыва и их классификация

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

Курсовая работа

По математическому анализу

Вариант № 16

Выполнил: студент гр.

Проверил:

Москва 2011/12 уч. год

Оглавление

Теория……………………………………………………………………..……3

Практическая часть………………………………………………………..…9

Теория.

Точки разрыва и их классификация

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Из приведенного ранее определения точки разрыва функции получаем, что точка является точкой разрыва функции f(x), если выполняется одно из условий: или функция f(x) определена в точке , но не является непрерывной в этой точке, или функция f(x) не определена в точке .

В первом случае точка принадлежит области определения функции, во втором случае не принадлежит области определения функции. Заметим, что для основных элементарных функций возможен только второй случай.

Пусть — точка разрыва функции f(x). При этом называется точкой разрыва первого рода, если функция f(x) имеет конечные пределы справа и слева в этой точке. Во всех остальных случаях называется точкой разрыва второго рода. Если точка разрыва первого рода функции f(x) то график этой функции в точке хо может иметь лишь конечный скачок (см. рис. 1). Если же - точка разрыва второго рода функции f(x), то по крайней мере один из пределов справа или слева в точке не существует или равен бесконечности.

Основные сведения

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax)имеет период .

3) Если f(x)- периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

(1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

, где n=1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле).Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ ] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА 2.Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то

, где ,

,

,

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо: доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

(n=1,2, . . .)

Ряд Фурье для периодической функции с периодом T = 2L  
 

Пусть g (x) – периодическая функция с периодом 2π:

Тогда функция является периодической с периодом 2L:

Следовательно, для разложения периодической функции f (x) с периодом 2L в ряд Фурье можно использовать соответствующие формулы для периодической функции с периодом 2π, выполнив в них подстановку :

     
     
       
     

Аналогичным образом обобщаются формулы для ряда и коэффициентов Фурье в комплексной форме на случай периодической функции f (x) с периодом 2L:

     
     

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

, где ,

.

Похожие статьи