Поделиться Поделиться

Условное математическое ожидание

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Условное математическое ожидание ~ Ковариация ~ Корреляция

Математическое ожидание

Пусть (x , h ) - двумерная случайная величина, тогдаM (x , h )=(M (x ), M (h )), т.е. математическое ожидание случайного вектора - это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если (x , h ) - дискретный случайный вектор с распределением

  y1 y2 ... ym
x1 p11 p12 ... p1m
x2 p12 p12 ... p2m
... ... ... pij ...
xn pn1 pn2 ... pnm

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 1 , Условное математическое ожидание - Инвестирование - 2 .

Эти формулы можно записать в сокращенном виде.

Обозначим Условное математическое ожидание - Инвестирование - 3 и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 4 , тогда Условное математическое ожидание - Инвестирование - 5 и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 6 .

Если p(x , h )(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (x , h ), то

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 7 и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 8 .

Поскольку Условное математическое ожидание - Инвестирование - 9 -плотность распределения случайной величины x , то Условное математическое ожидание - Инвестирование - 10 и, аналогично, Условное математическое ожидание - Инвестирование - 11 .

Дисперсия

Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если (x , h ) - двумерная случайная величина, то

D x = M (x - M x )2 = M x 2 - M (x )2, D h =M (h - M h )2 = M h 2 - M (h )2.

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

Условное математическое ожидание

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если x - случайная величина и h =x 2, то h - тоже случайная величина, связанная с x функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора (x , h ) с распределением

  y1 y2 ... ym
x1 p11 p12 ... p1m
x2 p12 p12 ... p2m
... ... ... pij ...
xn pn1 pn2 ... pnm

условное математическое ожидание случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение yj, вычисляется по формуле Условное математическое ожидание - Инвестирование - 12 .

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение xi, равно Условное математическое ожидание - Инвестирование - 13 .

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины x является функцией значений случайной величины h , т.е. M (x /h = y) = f1(y) и, совершенно аналогично, M (h /x = x) = f2(x).

Функцию f1(y) называют регрессией случайной величины x на случайную величину h , а f2(x) - регрессией случайной величины h на случайную величину x .

Если p(x ,h )(x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины (x ,h ), то

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 14 и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 15 .

Ковариация

Если между случайными величинами x и h существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация cov(x , h ). Ковариацию вычисляют по формулам cov(x , h )=M [(x - M x )(h - M h )] = M (x h) - M x M h .

Если случайные величины x и h независимы, то cov(x ,h )=0. Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация нулевая! Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Свойства ковариации:

cov(x , x ) = D x ;

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 16 ;

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 17 ;

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 18 ,

где C1 и C2 - произвольные константы.

Ковариационной матрицей случайного вектора (x ,h ) называется матрица вида

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 19 .

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин (x ,h ).

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: Условное математическое ожидание - Инвестирование - 20 . Если же случайные величины зависимы, то Условное математическое ожидание - Инвестирование - 21 .

Корреляция

Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений. Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется безразмерный коэффициент корреляции Условное математическое ожидание - Инвестирование - 22 .

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

он безразмерен;

его модуль не превосходит единицы, т.е. Условное математическое ожидание - Инвестирование - 23 ;

если x и h независимы, то k(x ,h )=0 (обратное неверно!);

если Условное математическое ожидание - Инвестирование - 24 , то случайные величины x и h связаны функциональной зависимостью вида

h = ax +b,

где a и b- некоторые числовые коэффициенты;

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 25 ;

Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 26 .

Если Условное математическое ожидание - Инвестирование - 27 и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 28 , то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора (x ,h ) связаны соотношением Условное математическое ожидание - Инвестирование - 29 , где Условное математическое ожидание - Инвестирование - 30 .

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 31

Распределение двумерной случайной величины

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 32

Первый способ

Математическое ожидание x Математическое ожидание h
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 33 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 34
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 35 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 36

Второй способ

Математическое ожидание x Математическое ожидание h
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 37 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 38
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 35 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 36

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 41

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 42

Распределение двумерной случайной величины

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 43

Математическое ожидание x Математическое ожидание h
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 33 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 34
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 35 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 47
   
Математическое ожидание Условное математическое ожидание - Инвестирование - 48 Математическое ожидание Условное математическое ожидание - Инвестирование - 49
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 50 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 51
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 52 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 53
   
Дисперсия Условное математическое ожидание - Инвестирование - 54 Дисперсия Условное математическое ожидание - Инвестирование - 55
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 56 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 57
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 58 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 59

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 60

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 42

Распределение двумерной случайной величины

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 62

Распределение случайной величины x

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 63

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 64 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 65 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 66

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 67

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 68

Математическое ожидание x

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 69 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 70

Условные математические ожидания x

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 71 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 72

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 73 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 74

Точечный график регрессии Mxh=f(y)

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 75

Ра спределение случайной величины h

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 76

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 71 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 78 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 79

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 80

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 81

Математическое ожидание h

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 82 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 47

Условные математические ожидания h

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 64 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 85

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 86 Условное математическое ожидание - Инвестирование - 87

Точечный график регрессии Mxh=f(y)

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 88

← Предыдущая страница | Следующая страница →