Поделиться Поделиться

Условное математическое ожидание

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Условное математическое ожидание ~ Ковариация ~ Корреляция

Математическое ожидание

Пусть (x , h ) - двумерная случайная величина, тогдаM (x , h )=(M (x ), M (h )), т.е. математическое ожидание случайного вектора - это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если (x , h ) - дискретный случайный вектор с распределением

  y1y2 ... ym
x1p11p12 ... p1m
x2p12p12 ... p2m
... ... ... pij ...
xnpn1 pn2 ... pnm

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 1 , Условное математическое ожидание - Инвестирование - 2 .

Эти формулы можно записать в сокращенном виде.

Обозначим Условное математическое ожидание - Инвестирование - 3 и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 4 , тогда Условное математическое ожидание - Инвестирование - 5 и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 6 .

Если p(x , h )(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (x , h ), то

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 7 и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 8 .

Поскольку Условное математическое ожидание - Инвестирование - 9 -плотность распределения случайной величины x , то Условное математическое ожидание - Инвестирование - 10 и, аналогично, Условное математическое ожидание - Инвестирование - 11 .

Дисперсия

Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если (x , h ) - двумерная случайная величина, то

Dx = M(x - M x )2 =M x 2 - M (x )2,D h =M(h - M h )2 =M h 2 - M (h )2.

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

Условное математическое ожидание

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если x - случайная величина и h =x 2, то h - тоже случайная величина, связанная с x функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора (x , h ) с распределением

  y1y2 ... ym
x1p11p12 ... p1m
x2p12p12 ... p2m
... ... ... pij ...
xnpn1 pn2 ... pnm

условное математическое ожидание случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение yj, вычисляется по формуле Условное математическое ожидание - Инвестирование - 12 .

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение xi, равно Условное математическое ожидание - Инвестирование - 13 .

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины x является функцией значений случайной величины h , т.е. M (x /h = y) = f1(y) и, совершенно аналогично, M (h /x = x) = f2(x).

Функцию f1(y) называют регрессией случайной величины x на случайную величину h , а f2(x) - регрессией случайной величины h на случайную величину x .

Если p(x ,h )(x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины (x ,h ), то

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 14 и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 15 .

Ковариация

Если между случайными величинами x и h существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация cov(x , h ). Ковариацию вычисляют по формулам cov(x , h )=M [(x - M x )(h - M h )] = M (x h) - Mx M h .

Если случайные величины x и h независимы, то cov(x ,h )=0. Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация нулевая! Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Свойства ковариации:

cov(x , x ) = Dx ;

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 16;

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 17;

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 18,

где C1 и C2 - произвольные константы.

Ковариационной матрицей случайного вектора (x ,h ) называется матрица вида

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 19.

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин (x ,h ).

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: Условное математическое ожидание - Инвестирование - 20. Если же случайные величины зависимы, то Условное математическое ожидание - Инвестирование - 21.

Корреляция

Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений. Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется безразмерный коэффициент корреляции Условное математическое ожидание - Инвестирование - 22.

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

он безразмерен;

его модуль не превосходит единицы, т.е. Условное математическое ожидание - Инвестирование - 23;

если x и h независимы, то k(x ,h )=0 (обратное неверно!);

если Условное математическое ожидание - Инвестирование - 24, то случайные величины x и h связаны функциональной зависимостью вида

h = ax +b,

где a и b- некоторые числовые коэффициенты;

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 25;

Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 26.

Если Условное математическое ожидание - Инвестирование - 27и Условное математическое ожидание - Инвестирование - 28, то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора (x ,h ) связаны соотношением Условное математическое ожидание - Инвестирование - 29, где Условное математическое ожидание - Инвестирование - 30 .

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 31

Распределение двумерной случайной величины

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 32

Первый способ

Математическое ожидание x Математическое ожидание h
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 33Условное математическое ожидание - Инвестирование - 34
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 35Условное математическое ожидание - Инвестирование - 36

Второй способ

Математическое ожидание x Математическое ожидание h
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 37Условное математическое ожидание - Инвестирование - 38
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 35Условное математическое ожидание - Инвестирование - 36

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 41

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 42

Распределение двумерной случайной величины

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 43

Математическое ожидание x Математическое ожидание h
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 33Условное математическое ожидание - Инвестирование - 34
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 35Условное математическое ожидание - Инвестирование - 47
   
Математическое ожидание Условное математическое ожидание - Инвестирование - 48 Математическое ожидание Условное математическое ожидание - Инвестирование - 49
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 50Условное математическое ожидание - Инвестирование - 51
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 52Условное математическое ожидание - Инвестирование - 53
   
Дисперсия Условное математическое ожидание - Инвестирование - 54 Дисперсия Условное математическое ожидание - Инвестирование - 55
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 56Условное математическое ожидание - Инвестирование - 57
Условное математическое ожидание - Инвестирование - 58Условное математическое ожидание - Инвестирование - 59

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 60

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 42

Распределение двумерной случайной величины

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 62

Распределение случайной величины x

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 63

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 64Условное математическое ожидание - Инвестирование - 65Условное математическое ожидание - Инвестирование - 66

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 67

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 68

Математическое ожидание x

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 69Условное математическое ожидание - Инвестирование - 70

Условные математические ожидания x

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 71Условное математическое ожидание - Инвестирование - 72

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 73Условное математическое ожидание - Инвестирование - 74

Точечный график регрессии Mxh=f(y)

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 75

Распределение случайной величины h

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 76

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 71Условное математическое ожидание - Инвестирование - 78Условное математическое ожидание - Инвестирование - 79

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 80

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 81

Математическое ожидание h

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 82Условное математическое ожидание - Инвестирование - 47

Условные математические ожидания h

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 64Условное математическое ожидание - Инвестирование - 85

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 86Условное математическое ожидание - Инвестирование - 87

Точечный график регрессии Mxh=f(y)

Условное математическое ожидание - Инвестирование - 88

Похожие статьи