Поделиться Поделиться

Функции случайных аргументов

Пусть на вероятностном пространстве задана случайная величина Функции случайных аргументов - Инвестирование - 1 Рассмотрим действительную функцию действительного аргумента Функции случайных аргументов - Инвестирование - 2 , область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины x.

Случайная величина Функции случайных аргументов - Инвестирование - 3 действующая по правилу Функции случайных аргументов - Инвестирование - 4 называется функцией Функции случайных аргументов - Инвестирование - 5 от скалярной случайной величины x.

Рассмотрим дискретную случайную величину x, которая задана своим законом распределения вероятностей.

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 6 x1 x2 xn
Р p1 p2 pn

Тогда Функции случайных аргументов - Инвестирование - 5 имеет закон распределения вероятностей

h φ(x1) φ(x2) φ(xn)
  p1 p2 pn

При этом, если в верхней строке таблицы появляются одинаковые значения φ(xi), то соответствующие столбцы нужно объединить в один, приписав им суммарную вероятность.

Пример 1.Закон распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 8 имеет вид

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 8 –1
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 10 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 11 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 12 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 13 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 14

Найти законы распределения случайных величин:

1) Функции случайных аргументов - Инвестирование - 15 , 2) Функции случайных аргументов - Инвестирование - 16 , 3) Функции случайных аргументов - Инвестирование - 17 .

Решение.1) Возможные значения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 15 найдем, подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 19 : Функции случайных аргументов - Инвестирование - 20 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 21 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 22 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 23 .

Вероятности этих значений соответственно равны

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 24 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 25 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 26 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 27 .

Так как среди значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 28 нет повторяющихся, и они расположены в возрастающем порядке, то закон распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 15 будет иметь вид

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 30 –1
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 10 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 11 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 12 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 13 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 14

2) Возможные значения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 16 найдем, подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 8 : Функции случайных аргументов - Инвестирование - 38 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 21 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 40 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 41 . Вероятности этих значений соответственно равны Функции случайных аргументов - Инвестирование - 24 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 25 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 26 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 27 .

Среди значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 28 нет повторяющихся, однако они расположены не в возрастающем порядке. Для получения закона распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 47 расположим значения Функции случайных аргументов - Инвестирование - 48 в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 16 будет иметь вид

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 50 –1 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 51 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 52
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 10 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 11 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 14 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 13 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 12

3) Возможные значения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 17 найдем,

подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 8 : Функции случайных аргументов - Инвестирование - 60 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 61 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 62 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 63 . Вероятности этих значений соответственно равны Функции случайных аргументов - Инвестирование - 24 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 25 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 66 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 27 .

Среди значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 28 есть повторяющиеся Функции случайных аргументов - Инвестирование - 69 . Объединим эти значения в одно, вероятность которого будет равна сумме вероятностей Функции случайных аргументов - Инвестирование - 24 и Функции случайных аргументов - Инвестирование - 66 , то есть Функции случайных аргументов - Инвестирование - 72 .

Для получения закона распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 17 расположим значения Функции случайных аргументов - Инвестирование - 74 в возрастающем порядке. Ряд распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 17 будет иметь вид

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 76
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 10 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 12 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 79 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 14

Если Функции случайных аргументов - Инвестирование - 81 и Функции случайных аргументов - Инвестирование - 82 – независимые дискретные случайные величины с возможными значениями Функции случайных аргументов - Инвестирование - 83 и Функции случайных аргументов - Инвестирование - 84 то Функции случайных аргументов - Инвестирование - 85 может принимать значения Функции случайных аргументов - Инвестирование - 86 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 87 Вероятности этих значений равны

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 88 .

Зная закон распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 89 можно по известным формулам найти её числовые характеристики.

Пример 2.Независимые случайные величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 90 имеют законы распределения

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 91
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 92 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 93 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 94 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 93

и

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 96 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 97 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 98
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 99 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 100 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 101

Найти законы распределения случайных величин Функции случайных аргументов - Инвестирование - 102 :

а) Функции случайных аргументов - Инвестирование - 103 ; б) Функции случайных аргументов - Инвестирование - 104 .

Решение. а) Возможные значения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 105 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 106 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 107 – это Функции случайных аргументов - Инвестирование - 108 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 109 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 110 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 111 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 112 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 113 .

По теореме умножения вероятностей, вероятности этих значений соответственно равны

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 114 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 115 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 116 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 117 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 118 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 119 .

Составим таблицу значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 106 и соответствующих им вероятностей

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 106
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 122 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 123 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 126 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 123 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124

Среди значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 129 есть повторяющиеся Функции случайных аргументов - Инвестирование - 130 . Объединим эти значения в одно, вероятность которого будет равна сумме вероятностей Функции случайных аргументов - Инвестирование - 131 и Функции случайных аргументов - Инвестирование - 132 , то есть Функции случайных аргументов - Инвестирование - 133 .

Для получения закона распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 103 расположим значения Функции случайных аргументов - Инвестирование - 135 в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 103 будет иметь вид

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 137
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 138 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 123 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 133 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 126 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124

б) Возможные значения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 144 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 145 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 107 – это Функции случайных аргументов - Инвестирование - 147 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 148 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 149 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 150 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 151 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 152 .

По теореме умножения вероятностей, вероятности этих значений соответственно равны

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 114 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 115 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 116 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 117 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 118 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 119 .

Составим таблицу значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 145 и соответствующих им вероятностей

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 106
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 122 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 123 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 126 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 123 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124

Среди значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 129 есть повторяющиеся Функции случайных аргументов - Инвестирование - 169 и Функции случайных аргументов - Инвестирование - 170 . Объединим повторяющиеся значения. Вероятности объединенных значений будет равна сумме вероятностей Функции случайных аргументов - Инвестирование - 171 и Функции случайных аргументов - Инвестирование - 172 , то есть Функции случайных аргументов - Инвестирование - 133 и сумме вероятностей Функции случайных аргументов - Инвестирование - 174 и Функции случайных аргументов - Инвестирование - 132 , то есть Функции случайных аргументов - Инвестирование - 176 .

Для получения закона распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 177 расположим значения Функции случайных аргументов - Инвестирование - 178 в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 177 будет иметь вид

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 180
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 138 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 133 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 176 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 124

Пример 3. Бросаются 3 монеты. Пусть Функции случайных аргументов - Инвестирование - 186 , если Функции случайных аргументов - Инвестирование - 187 я монета выпала орлом вверх, и Функции случайных аргументов - Инвестирование - 188 в противном случае, Функции случайных аргументов - Инвестирование - 189 . Найти закон распределения случайной величины Функции случайных аргументов - Инвестирование - 190 .

Решение. 1. Определяем пространство элементарных исходов.

Элементарными исходами рассматриваемого случайного эксперимента являются упорядоченные наборы чисел Функции случайных аргументов - Инвестирование - 191 , где Функции случайных аргументов - Инвестирование - 192 либо нуль, либо единица Функции случайных аргументов - Инвестирование - 193 .

2. Определяем множество возможных значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 194 .

Случайная величина Функции случайных аргументов - Инвестирование - 194 на элементарном исходе Функции случайных аргументов - Инвестирование - 191 принимает значение Функции случайных аргументов - Инвестирование - 197 .

3. Составляем таблицу элементарных исходов и соответствующих им значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 194 .

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 199
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 200
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 201
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 202 –1

4. Определяем вероятности возможных значений Функции случайных аргументов - Инвестирование - 194 и строим ее закон распределения.

Всего элементарных исходов Функции случайных аргументов - Инвестирование - 204 . Следовательно, вероятность элементарного исхода равна Функции случайных аргументов - Инвестирование - 205 . Имеем

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 202 –1
Функции случайных аргументов - Инвестирование - 10 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 208 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 209 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 209 Функции случайных аргументов - Инвестирование - 208

Рассмотрим случай непрерывных случайных величин.

Пусть задана n-мерная случайная величина Функции случайных аргументов - Инвестирование - 212 с плотностью распределения вероятности Функции случайных аргументов - Инвестирование - 213 и задана функция Функции случайных аргументов - Инвестирование - 214 . Чтобы определить случайную величину Функции случайных аргументов - Инвестирование - 215 необходимо уметь вычислять вероятности Функции случайных аргументов - Инвестирование - 216 для любых Функции случайных аргументов - Инвестирование - 217 . Обозначим через D – множество точек

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 218 .

Тогда получим Функции случайных аргументов - Инвестирование - 219 .

Определение. Скажем, что случайная величина Функции случайных аргументов - Инвестирование - 220 , если для любых Функции случайных аргументов - Инвестирование - 221 ,

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 222

Рассмотрим уравнение Функции случайных аргументов - Инвестирование - 223 где Функции случайных аргументов - Инвестирование - 224 дифференцируемая функция и пусть Функции случайных аргументов - Инвестирование - 225 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 226 – функции, обратные к функции Функции случайных аргументов - Инвестирование - 227 .

Тогда

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 228 ;

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 229 ;

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 230 ;

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 231 .

Для случайного вектора Функции случайных аргументов - Инвестирование - 232 с плотностью распределения Функции случайных аргументов - Инвестирование - 233 , если Функции случайных аргументов - Инвестирование - 234 , то Функции случайных аргументов - Инвестирование - 235 .

Примеры функций случайных аргументов.

Распределение Пирсона Функции случайных аргументов - Инвестирование - 236 с Функции случайных аргументов - Инвестирование - 237 степенями свободы . Пусть Функции случайных аргументов - Инвестирование - 238 и независимы. Тогда Функции случайных аргументов - Инвестирование - 239 имеет плотность распределения

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 240

где Функции случайных аргументов - Инвестирование - 241 – гамма-функция.

Функции случайных аргументов - Инвестирование - 242 , Функции случайных аргументов - Инвестирование - 243 .

← Предыдущая страница | Следующая страница →