Поделиться Поделиться

Числовые (точечные) характеристики

Вероятностные характеристики результатов измерений являются наиболее полными, но не всегда удобны, а также не всегда достижимы, т.к. для их получения необходимо большое число экспериментальных данных. Поэтому чаще используют числовые характеристики через начальные и центральные моменты.

Начальные моменты получают усреднением значений относительно начала координат по правилу:

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 1 = Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 2 , (3.7)

где r – номер (порядок) момента;

х – случайная величина (результат измерений).

Первый начальный момент характеризует математическое ожидание отсчета при бесконечном повторении процедуры сравнения (измерения):

М(х)= Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 3 (3.8)

Для дискретных результатов измерений:

М(х) » Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 4 = Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 5 (3.9)

где Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 4 - среднее арифметическое значение;

хί - ί-й результат измерений;

Pί - вероятность появления ί-го результата;

n - число результатов измерений;

Pί= Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 7 (3.10)

где mί - абсолютная частота ί-го результата.

Тогда

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 8 (3.11)

М(х) так же как Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 4 характеризует центр группирования результатов многократных измерений.

Центральные моменты получают усреднением значений относительно центра распределения, т.е. относительно математического ожидания или среднего арифметического значения, по правилу:

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 10 (3.12)

Второй центральный момент называется дисперсией D(х) и характеризует разброс экспериментальных данных относительно центра распределения.

D(x)= Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 11 (3.13)

Для дискретных величин

D(x)= Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 12 (3.14)

Часто в качестве характеристики разброса результатов измерений используется среднее квадратическое отклонение (СКО)- Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 13 :

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 14 (3.15)

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 15 -является смещенной оценкой СКО.

Если из общего числа данных при усреднении исключается одно значение, совпадающее с центром распределения, то такая оценка СКО является несмещенной:

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 16 (3.16)

Если каждый из результатов измерений встречается не более одного раза, то соответственно числовые характеристики определяются по формулам:

- среднее арифметическое значение:

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 17 ; (3.17)

- СКО:

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 18 (3.18)

Упрощенный расчет дисперсии можно выполнить по свойству дисперсии:

D(x)=M(x2)-M2(x) (3.19)

Третий центральный момент Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 19 используется для характеристики асимметричности кривой распределения плотности вероятности. Асимметрия определяется по формуле:

m= Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 20 (3.20)

Четвертый центральный момент Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 21 используется для расчета эксцесса, характеризующего заостренность кривой распределения плотности вероятности:

ν Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 22 Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 23 (3.21)

Характеристики с использованием центральных моментов приведены на рисунке 3.4.

К числовым характеристикам также относятся мода и медиана. Модой Мо называется наиболее вероятное значение результата измерений. Мода соответствует абсциссе точки максимума кривой распределения плотности вероятности, как показано на рисунке 3.5.

Медиана Мl –это значение результата измерений, относительно которого равновероятно, что результат измерений окажется меньше или больше медианы:

Р(х < Мl)=Р(х > Мl)=0,5 (3.22)

На рисунке 3.5 медианой является значение абсциссы перпендикуляра к оси абсцисс, относительно которого площадь под кривой распределения плотности вероятности делится пополам.

Для симметричных распределений все три характеристики – математическое ожидание, мода и медиана - совпадают.

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 24 Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 25

Рисунок 3.4 - Числовые характеристики результатов измерений

а).СКО и эксцесс; б).асимметрия

Числовые (точечные) характеристики - Инвестирование - 26

Рисунок 3.5 – Математическое ожидание, мода, медиана

← Предыдущая страница | Следующая страница →