Поделиться Поделиться

Числовые последовательности.

§2.1. Предел последовательности

Рассмотрим функцию, у которой на аргумент наложены ограничения, те.е. аргумент принимает значения натурального ряда

Числовые последовательности. - Инвестирование - 1 , Числовые последовательности. - Инвестирование - 2

Df 1. Числовой последовательностью называется отображение из Числовые последовательности. - Инвестирование - 3 в Числовые последовательности. - Инвестирование - 4 : Числовые последовательности. - Инвестирование - 5

Множество Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 - не обязательно бесконечно, но всегда счетно. Оно может состоять из одного элемента.

Числовые последовательности. - Инвестирование - 7 - постоянная последовательность

Числовые последовательности. - Инвестирование - 8 , Числовые последовательности. - Инвестирование - 9

Последовательность элементов будем обозначать через Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 , а также будем говорить, что задана последовательность Числовые последовательности. - Инвестирование - 11 , Числовые последовательности. - Инвестирование - 12

Df 2. Элемент Числовые последовательности. - Инвестирование - 13 называется общим членом последовательности Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 , а Числовые последовательности. - Инвестирование - 15 называются членами последовательности Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 .

Df 3. Две последовательности Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 и Числовые последовательности. - Инвестирование - 18 элементов из Числовые последовательности. - Инвестирование - 4 называются равными, если Числовые последовательности. - Инвестирование - 20 для Числовые последовательности. - Инвестирование - 21 .

Df 4. Последовательность Числовые последовательности. - Инвестирование - 22 элементов множества, определенная равенством Числовые последовательности. - Инвестирование - 23 , Числовые последовательности. - Инвестирование - 24 , называется последовательностью последовательности Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 или частичной последовательностью.

Члены числовой последовательности могут быть изображены в виде точек числовой оси.

Пример.

Числовые последовательности. - Инвестирование - 26

Числовые последовательности. - Инвестирование - 27Числовые последовательности. - Инвестирование - 28

§2.2. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Df 1. Пусть Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 называется ограниченной сверху (справа), если существует такое число Числовые последовательности. - Инвестирование - 30 , что для всех элементов последовательности выполняется неравенство Числовые последовательности. - Инвестирование - 31 .

Числовые последовательности. - Инвестирование - 32

Df 2. Числовая последовательность Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 называется ограниченной снизу (слева), если для всех элементов последовательности выполняется соотношение Числовые последовательности. - Инвестирование - 34 , т.е. Числовые последовательности. - Инвестирование - 35 имеет место неравенство Числовые последовательности. - Инвестирование - 34 .

Числовые последовательности. - Инвестирование - 37

Df 3. Числовая последовательность Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 называется ограниченной, если существует такое число Числовые последовательности. - Инвестирование - 30 , что для всех членов последовательности выполняется соотношение Числовые последовательности. - Инвестирование - 40 , Числовые последовательности. - Инвестирование - 21 .

Числовые последовательности. - Инвестирование - 42

Пример.

Числовые последовательности. - Инвестирование - 43

Числовые последовательности. - Инвестирование - 44

Df 4. Числовая последовательность Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 называется ограниченной, если Числовые последовательности. - Инвестирование - 46Числовые последовательности. - Инвестирование - 47 , существует хотя бы один элемент последовательности Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 удовлетворяющий неравенству: Числовые последовательности. - Инвестирование - 49 .

Пример.

Числовые последовательности. - Инвестирование - 50

Замечание.Если Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 ограничена, то ограничена и сверху и снизу, т.е. Числовые последовательности. - Инвестирование - 52 .

§2.3. Предел последовательности.

Рассмотрим числовую прямую Числовые последовательности. - Инвестирование - 53 и в дальнейшем будем считать Числовые последовательности. - Инвестирование - 54

Df.Окрестностью Числовые последовательности. - Инвестирование - 55 (или Числовые последовательности. - Инвестирование - 56 , или Числовые последовательности. - Инвестирование - 57 ) точки Числовые последовательности. - Инвестирование - 58 называется любой интервал Числовые последовательности. - Инвестирование - 59 , содержащий точку Числовые последовательности. - Инвестирование - 60 , т.е. Числовые последовательности. - Инвестирование - 61 .

Центрированной или «сферической» (с радиусом Числовые последовательности. - Инвестирование - 62 ) окрестностью точки Числовые последовательности. - Инвестирование - 60 называется множество Числовые последовательности. - Инвестирование - 64 .

Заметим, любые окрестности Числовые последовательности. - Инвестирование - 65 и Числовые последовательности. - Инвестирование - 62 такие, что Числовые последовательности. - Инвестирование - 67 .

(На самом деле достаточно взять Числовые последовательности. - Инвестирование - 68 и Числовые последовательности. - Инвестирование - 69 , Числовые последовательности. - Инвестирование - 70 .)

Df . Если Числовые последовательности. - Инвестирование - 56 - окрестность точки Числовые последовательности. - Инвестирование - 58 , то проколотой окрестностью точки Числовые последовательности. - Инвестирование - 60 называется множествоЧисловые последовательности. - Инвестирование - 74 .

В частности, Числовые последовательности. - Инвестирование - 75 .

Df. Действительное число Числовые последовательности. - Инвестирование - 76 называется пределом числовой последовательности Числовые последовательности. - Инвестирование - 6 , если Числовые последовательности. - Инвестирование - 78 , можно указать такой номер Числовые последовательности. - Инвестирование - 79 зависящий от Числовые последовательности. - Инвестирование - 80 , что Числовые последовательности. - Инвестирование - 81 выполняется неравенство Числовые последовательности. - Инвестирование - 82 , и обозначается: Числовые последовательности. - Инвестирование - 83 или Числовые последовательности. - Инвестирование - 84 при Числовые последовательности. - Инвестирование - 85 .

Запишем это определение в логической символике: Числовые последовательности. - Инвестирование - 86

Неравенство Числовые последовательности. - Инвестирование - 82 , Числовые последовательности. - Инвестирование - 81 распишем следующим образом

Числовые последовательности. - Инвестирование - 89

Похожие статьи