Поделиться Поделиться

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій”

Мета роботи: навчитись обчислювати визначені інтеграли використовуючи чисельні методи інтегрування, оцінювати похибку обчислень за правилом Рунге. Засвоїти методи: прямокутників, трапецій, Симпсона.

Теоретичні відомості.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] і відома її первісна F(x) ( На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 1 ), то справедлива формула Ньютона – Лейбніца

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 2 (28)

Проте цією формулою важко і навіть практично неможливо скористатися тоді, коли первісну F(x) не можливо представити в елементарних функціях. У цих випадках особливе значення мають методи чисельного інтегрування функцій, в яких для знаходження наближеного значення визначеного інтеграла використовуються значення підінтегральної функції та її похідних у скінченій кількості точок, що належать переважно проміжку інтегрування. Наближені методи обчислення визначеного інтеграла здебільшого ґрунтуються на геометричному змісті визначеного інтеграла: якщо функція На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 3 , то інтеграл I дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою y=f(x) і прямими x=a, x=b, y=0. Ідея наближеного обчислення інтеграла полягає в тому, що задана крива y=f(x) замінюється новою лінією „близькою” до заданої. Тоді шукана площа наближено дорівнює фігурі, обмеженої зверху цією лінією.

Сутність методів чисельного інтегрування функцій зводиться до розбиття заданого інтегралу на множину менших інтегралів. Сумарна площа обчислюється як сукупність елементарних площин, отриманих в результаті розбиття.

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 4 (29)

При цьому чим менше інтервал розбиття, тим точніше буде інтегральна сума.

Формула прямокутників.

В цьому методі використовується заміна площі криволінійної трапеції сумою площ прямокутників. В цьому випадку підінтегральну функцію замінюють відрізками сталих. Існують формули лівих, правих і середніх прямокутників.

а) формула лівих прямокутників

Замінюємо підінтегральну функцію На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 5 відрізками сталих, які проводимо через точки На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 6 . Тоді

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 7 (30)

б) формула правих прямокутників

Замінюємо підінтегральну функцію На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 5 відрізками сталих, які проводимо через точки На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 9 . Тоді

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 10 (31)

в) формула середніх прямокутників

Замінюємо підінтегральну функцію На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 5 відрізками сталих, які проводимо через точки На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 12 . Тоді

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 13 (32)

Формула трапецій.

Сутність даного методу є заміна площі криволінійної трапеції площами трапецій, які утворені ламаними, що стягують кінці інтервалів розбиття та кроком розбиття. Тобто в цьому випадку підінтегральна функція На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 5 замінюється відрізками ламаних.

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 15 На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 16 (33)

Формула Симпсона.

Сутність даного методу є заміна площі криволінійної трапеції площами, що утворені подвійними інтервалом розбиття (2h) і частинами парабол, що проходять через відповідні три точки На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 17 . Тому кількість відрізків розбиття n повинно бути кратним двом.

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 18 (34)

Оцінка похибки .

На практиці оцінку похибки при чисельному обчисленні інтегралів здійснюють за правилом Рунге.

Для інтегралів, що були обчислені за формулами лівих і правих прямокутників похибка оцінюється:

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 19 (35)

де На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 20 - обчислення проведене при 2n відрізків розбиття інтервалу[a,b],

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 21 - обчислення проведене при n відрізків розбиття інтервалу[a,b].

Для інтегралів, що були обчислені за формулами середніх прямокутників та трапецій похибка оцінюється:

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 22 (36)

Для інтегралів, що були обчислені за формулами Симпсона похибка оцінюється за:

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 23 (37)

Завдання: обчислити інтеграл На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 24 при n=4 та n=8 відрізків розбиття методами прямокутників, трапецій, Симпсона. Оцінити похибки обчислень кожного методу за правилом Рунге.

Приклад чисельного обчислення інтегралів в Excel:

  Метод лівих прямокутників                    
xi f(xi) a b n h   xi f(xi) a b n h  
3,14 0,785   3,14 0,393  
0,785 1,4137           0,3925 0,765          
1,57           0,785 1,41365          
2,355 1,4159           1,1775 1,8473          
3,14             1,57          
Σ   4,8296           1,9625 1,84852          
                2,355 1,4159          
                2,7475 0,76794          
  Інтеграл= 3,7912           3,14            
                Σ   10,0583          
                               
                  Інтеграл= 3,94789          
    Похибка= 0,16                        
                                                     

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 25

  Метод середніх прямокутників
xi f(xi) a b n h
0,3925 0,765 3,14 0,785
1,1775 1,8473        
1,9625 1,8485        
2,7475 0,7679        
           
Σ   5,2288        
             
  Інтеграл= 4,1046        
             

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 26

  Метод трапецій
xi f(xi) f(x0), f(x4) a b n h
  3,14 0,785
0,785 1,4137          
1,57          
2,355 1,4159          
3,14   0,00319        
Σ   4,8296 0,00319        
               
  Інтеграл= 3,7924          
  Метод Симпсона
xi f(x2i-1) f(x2i) f(x0), f(x4) a b n h
    3,14 0,393
0,3925 0,765            
0,785   1,4137          
1,1775 1,8473            
1,57            
1,9625 1,8485            
2,355   1,4159          
2,7475 0,7679            
3,14     0,00319        
Σ   5,2288 4,8296 0,00319        
                 
  Інтеграл= 4,0005            

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 27

Виконання в MathCad.

Метод лівих прямокутників: Метод правих прямокутників:

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 28

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 29

Метод середніх прямокутників: Метод трапецій:

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 30

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 31

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 32

Метод Симпсона:

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 33

На тему: „Чисельні методи інтегрування функцій” - Инвестирование - 34

Лабораторна робота №7

← Предыдущая страница | Следующая страница →