Поделиться Поделиться

На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь”

Мета роботи: навчитись обчислювати корені нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з наперед заданою точністю, засвоїти метод поділу відрізка навпіл (бісекцій), метод Ньютона, метод простої ітерації.

Теоретичні відомості.

При побудові математичних моделей деяких процесів використовують нелінійні алгебраїчні або трансцендентні рівняння.

Нехай задано рівняння f(x)=0 (23) , де функція f(x) - визначена і неперервна на деякому проміжку [a, b]. Розв’язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень x На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 1 [a,b] , при яких рівняння f(x)=0 перетворюється в тотожність. Якщо функція f(x) - алгебраїчний многочлен, то рівняння (23) називається алгебраїчним. Якщо функція f(x) містить тригонометричні, показникові або логарифмічні функції, тоді рівняння (1) називають трансцендентним.

Знайти точні значення коренів заданого рівняння можна лише для найпростіших функцій f(x). Нехай На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 2 - точний корінь, На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 3 - його наближене значення. Корінь На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 3 обчислено з заданою точністю На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 5 , якщо На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 6 .

Процес наближеного знаходження дійсних коренів складається з двох етапів:

1. Відокремлення, тобто знаходження досить малих відрізків, на кожному з яких міститься один і тільки один дійсний корінь;

2. Уточнення коренів – знаходження кореня рівняння з наперед заданою точністю.

Методи відокремлення коренів:

1. Графічний. Будуємо графік функції, шукані корені отримуємо як точки перетину графіка з віссю ОХ.

На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 7

2. Аналітичний метод. Аналітичний метод відокремлення коренів ґрунтується на теоремах з курсу математичного аналізу.

В результаті отримуємо відрізки ізоляції коренів рівняння, де є тільки один корінь.

Методи уточнення коренів.

Ці методи застосовуються на відрізках ізоляції коренів, де є тільки один корінь.

а) метод поділу відрізка навпіл (бісекцій)

Нехай рівняння На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 8 , що має на відрізку [a,b] один дійсний корінь. Позначимо через На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 2 - точне значення кореня рівняння На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 8 на відрізку [a,b], На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 5 - його точність з якою будемо шукати цей корінь. Перевіряємо, щоб довжина відрізка [a,b] була більшою за На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 5 ((b-a)> На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 5 ). Сутність методу полягає в тому, що відрізок [a,b] ділять навпіл точкою На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 14 і обчислюють На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 15 . Якщо На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 16 , то с – є точним значенням кореня. Якщо На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 17 , тоді аналізуємо добуток На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 18 . В тому випадку, коли На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 19 , то корінь знаходиться на відрізку [a,с], тому що функція змінює знаки, тому відрізок зменшується вдвічі тобто точка b переміщується в точку с (b=c).

Якщо На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 20 , то корінь знаходиться на відрізку [с,b], тоді точка На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 21 . Отриманий відрізок знову поділяємо навпіл. Процес поділу здійснюється до тих пір, поки не буде досягнута задана точність, тобто На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 22 .

б) метод Ньютона (дотичних)

Метод використовується для рівняння На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 8 , що має на відрізку [a,b] один дійсний корінь, функції На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 24 неперервні і зберігають постійні знаки на відрізку [a,b].

Наближення до точного кореня знаходиться за формулою Ньютона, яка має вигляд:

На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 25 (24)

Процес продовжується доти, поки не буде досягнута задана точність На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 26 .

Зауваження: за початкове наближення у методі Ньютона слід брати точку На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 27 , в якій На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 28 .

В) метод простої ітерації

Метод застосовується на відрізках, де існує один корінь рівняння На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 8 . Нехай на відрізку [a,b] рівняння має один дійсний корінь. Нехай задано рівняння На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 8 , де На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 31 - неперервна функція. Щоб знайти дійсні корені цього рівняння, замінено це рівняння його канонічною формою На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 32 .

Якщо для відрізка [a,b] виконується нерівність На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 33 , то метод простої ітерації можна застосувати (процес ітерацій збігається).

Для уточнення кореня методом простої ітерації використовується формула послідовних наближень

На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 34 (25)

Оцінка похибки: якщо задана максимально допустима абсолютна похибка На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 5 , то процес ітерацій слід продовжувати доти, поки для двох послідовних наближень На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 36 не буде забезпечено виконання нерівності

На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 37 (26)

де На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 38 ; На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 39

m – мінімальне значення похідної На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 40 на відрізку [a,b];

M – максимальне значення похідної На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 40 на відрізку [a,b].

Звідси На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 42

Зауваження: зведення рівняння На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 8 до канонічної форми На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 32 , для якої виконується умова збіжності, як правило, виконати не просто. Неважко перевірити, що рівняння

На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 45 (27)

рівносильне рівнянню На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 8 і має канонічну форму, для якої

На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь” - Инвестирование - 47

← Предыдущая страница | Следующая страница →