Поделиться Поделиться

Неперервна випадкова величина та її закони розподілу

Розглянутий закон розподілу є зручною формою для дискретної випадкової величини. Але, якщо розглянути, приклад (4), то бачимо, що значення випадкової величини – Х(ω) заповнюють цілий проміжок і перерахувати їх в таблиці неможливо. Крім того, ймовірність набути окреме значення, як пізніше буде з’ясовано, дорівнює нулю.

Тому для неперервної випадкової величини, тобто такої величини, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий інтервал (скінченний чи нескінченний) числової осі, природно поставити вимогу, щоб при будь-яких дійсних х1, х2 було визначено ймовірність того, щоб х1≤Х<х2 ; зокрема, для будь-якого дійсного числа х повинна бути визначена ймовірність того, що Х<х.

Тому визначимо таку характеристику розподілу, яку можна застосовувати для різних випадкових величин. Найбільш загальною формою закону розподілу випадкової величини Х є функція розподілу.

Означення 1. Функцією розподілу, або інтегральним законом розподілу, випадкової величини Х називається ймовірність виконання нерівності Х<х, розглядувана як функція аргументу х:

Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 1 .

Із значення функції розподілу випливає, що вона існує для всіх випадкових величин: як дискретних, так і неперервних. Для дискретної випадкової величини Х, яка набирає значення х1, х2, …хn функція розподілу буде мати вигляд:

Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 2 , (1)

де символ хіпід знаком суми означає, що сума поширюється на всі ті можливі значення випадкової величини, які по своїй величині менші аргументу х. З виразу (1) випливає, що функція розподілу дискретної випадкової величини Х розривна і зростає стрибками при переході через точки можливих її значень х1, х2, …хn .Причому величина стрибка рівна ймовірності відповідного значення.

Приклад. В прикладі 2 візьмемо Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 3 . Побудувати функцію розподілу числа того, що подія відбулася.

Рішення. Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 4 .

Х
Р 0,216 0,432 0,288 0,064

Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 5 Графік функції Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 6 :

 
  Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 7


Властивості функції розподілу:

Властивість 1. Функція розподілу: Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 6 є невід’ємна функція, значення якої не більше одиниці Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 9 .

Дійсно Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 1 , а Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 11 .

Властивість 2. Ймовірність появи випадкової величини в інтервалі Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 12 рівна різниці значень функції розподілу в кінцях інтервалу:

Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 13 (2)

Дійсно, оскільки Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 14 . Тому

Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 15 .

Звідки Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 13 .

Властивість 3. Функція розподілу випадкової величини є неспадна функція, тобто при Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 17 .

Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 18 .

Дійсно, з (2) випливає

Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 19 , а Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 20 .

Властивість 4. Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 21 .

Дійсно, означення функції розподілу має простий геометричний зміст. Якщо розглядати випадкову величину як випадкову точку Х осі ох, яка в результаті випробування може зайняти те чи інше положення, то функція розподілу Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 6 є ймовірність того, що випадкова точка Х в результаті випробування попаде лівіше точки х.

Тому при необмеженому переміщенні точки х вліво, попадання випадкової точки Х лівіше х в границі стає подією неможливою, тобто Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 23 . Аналогічно, якщо Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 24 , то попасти лівіше х в границі є подія достовірна, тобто Неперервна випадкова величина та її закони розподілу - Инвестирование - 25 .

Оскільки з допомогою функції розподілу можна знайти ймовірність появи випадкової величини в довільному інтервалі або довільній точці можливих значень для дискретної випадкової величини, то функція розподілу однозначно визначає закон розподілу випадкової величини.

← Предыдущая страница | Следующая страница →