Поделиться Поделиться

Нормальний закон розподілу

Серед розподілів неперервних випадкових величин центральне місце займає нормальний (закон Гаусса). Він часто застосовується в задачах практики, проявляється в тих випадках, коли випадкова величина Х є результатом дії великого числа факторів, кожний з яких окремо на величину Х впливає мало і не можна виділити, який більше, а який менше.

Основна особливість, що виділяє нормальний закон серед інших, полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу.

Означення. Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, якщо її густина розподілу має вигляд:

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 1 (12)

для довільного значення Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 2 і довільних чисел Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 3 і Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 4 .

Числа Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 3 і Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 4 називають параметрами розподілу і мають певний ймовірнісний зміст, який розглянемо нижче.

Графіком функції (12) є крива, яку в літературі називають кривою Гаусса, або нормальною кривою.

 
  Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 7


Якщо у формулі (12) покласти Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 8 , отримуємо нормовану функцію Гаусса, яка нам уже траплялася в теоремах Муавра-Лапласа (див. лк.23, §3) під назвою функції Лапласа.

Бачимо, що нормальний розподіл визначається двома параметрами: Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 3 і Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 4 . Досить знати ці параметри, щоб задати нормальний закон розподілу. Доведемо, що ймовірнісний зміст цих параметрів наступний: Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 3 - математичне сподівання, а Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 4 - середнє квадратичне відхилення. Дійсно:

а)

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 13

Перший доданок Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 14 , бо функція непарна, а інтегрування ведеться в межах, симетричних відносно початку координат; другий доданок Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 15 - інтеграл Пуассона, отже:

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 16 . (13)

б)

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 17

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 18

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 19 . (14)

Відмітимо деякі властивості нормальної кривої:

а) крива симетрична відносно прямої Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 20 і Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 21 ;

б) крива має один максимум при Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 20 , бо Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 23 при Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 20 , Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 25 при Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 26 і Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 27 Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 28 , при Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 29 ;

в) крива асимптотично наближається до осі Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 30 , бо Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 31 ;

г) зміна математичного сподівання Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 3 при Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 33 призводить до зміщення кривої Гаусса вздовж осі Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 30 .

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 35 При зміні середнього квадратичного відхилення Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 36 і Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 37 крива розподілу міняє свій вигляд (див рис.1), де крива І відповідає Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 38 , крива ІІ - Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 39 , а для кривої ІІІ - Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 40 , Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 41 .

Поряд з диференціальною функцією розподілу (12) нормального закону розподілу розглянемо й інтегральну функцію. Згідно з означенням, маємо:

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 42 .

Перший інтеграл відомий в літературі як інтеграл Пуассона і його значення дорівнює 0,5. Тоді у другому робиться заміна Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 43 :

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 44 . (15)

Як наслідок з формули (15) отримаємо ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 45 :

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 46

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 47 (16)

Легко встановити і відхилення випадкової величини від її математичного сподівання Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 3 на наперед задану величину Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 49 :

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 50

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 51 . (17)

З останньої формули (17) легко встановити правило трьох сигм, а саме, покладемо Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 52 .

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 53 .

Якщо Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 54 , тобто Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 55 , то

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 56 (18)

В цьому полягає сутність правила трьох сигм: якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення.

Приклад 1. Похибка радіодальноміра має нормальний закон розподілу з Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 57 м, Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 58 м. Знайти ймовірність того, що виміряне значення дальності буде відхилятися від істинного не більше, ніж на 20 м.

Рішення. Скористаємось формулою (17):

Нормальний закон розподілу - Инвестирование - 59 .

← Предыдущая страница | Следующая страница →