Поделиться Поделиться

Точечные и интервальные оценки

Статистическую оценку θ * параметра θ,которая определяется одним числом, называют точечной.

Оценка называется несмещенной , если М(θ *) = θ при любом объеме выборки. В противном случае оценка называется смещенной .

Оценка θ * параметра θ называется состоятельной , если при возрастании числа наблюдений n дисперсия оценки стремиться к нулю: Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 1 (θ *) = 0.

Оценка θ * параметра θ называется эффективной , если она несмещенная и имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками параметра θ при заданном объеме выборки n.

Точечные оценки математического ожидания и дисперсии:

1. Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания генеральной совокупности по выборке объема n:

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 2 варианта выборки, Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 3 частота варианты Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 4 , Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 5 объем выборки.  
Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 6 , где

2. Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании:

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 7 «исправленная дисперсия»

3. Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при известном математическом ожидании а генеральной совокупности:

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 8

4. Состоятельная смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании:

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 9

Свойства точечных оценок:

1о. Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 10 . 2о.а) Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 11 б) Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 12 .

3о.Если Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 13 , где с – некоторая константа, то а) Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 14 ; б) Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 15 , где Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 16 .

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 17 концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр θ с вероятностью Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 18 , где Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 19 заданное число, Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 20 ; т.е. p (θ ∈( Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 21 )) Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 22 .

Интервал Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 23 называется доверительным интервалом , а число Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 19 надежностьюили уровнем доверия .

Квантилем уровня р называется числоТочечные и интервальные оценки - Инвестирование - 25 , такое чтоТочечные и интервальные оценки - Инвестирование - 26 , где Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 27 функция распределения параметра Х генеральной совокупности.

Интервальные оценки математического ожидания а и дисперсии D нормально распределенной генеральной совокупности по выборке объема n с надежностью Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 18

1*.При известном среднем квадратическом отклонении Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 29 генеральной совокупности

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 30 , где Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 31 значение аргумента функции Лапласа Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 32 , при котором Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 33

или Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 34 , где Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 35 точность оценки.

2*.При неизвестном среднем квадратическом отклонении (и объеме выборки Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 36 )

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 37 , где Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 38 (см. п.2).

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 39 квантиль распределения Стьюдента уровня p с k степенями свободы (находится по таблице).

3*. При неизвестном среднем квадратическом отклонении

уровня p с k степенями свободы.
Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 40 , где Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 41 квантиль распределения Пирсона Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 42

4*. При известном математическом ожидании а

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 43

Задачи

1. Доказать, что если Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 44 большие числа, и ввести условные варианты Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 45 , где Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 46 , то Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 47 (свойство 3о а).

2. Найти состоятельную несмещенную оценку М * и D*по данному распределению выборки объема Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 48 , используя свойство 3о а:

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 49
Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 50

3. Доказать, что 1) Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 51 (свойство 1о); 2) Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 52 (свойство 2о).

4. По выборке объема 41 найдена смещенная оценка дисперсии Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 53 , найти несмещенную оценку Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 54 дисперсии генеральной совокупности.

5. Доказать, что при больших Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 55 и Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 45 , где Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 46 Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 58 (свойство 3об).

6. Найти состоятельную несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности по распределению выборки объема Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 59 , используя свойство 3об:

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 49
Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 50

7. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожи­дания а нормально распределенного признака X гене­ральной совокупности, если известны генеральное сред­нее квадратическое отклонение Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 62 , выборочная средняя Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 63 и объем выборки п =16.

8. Найти минимальный объем выборки, при кото­ром с надежностью 0,975 точность оценки математиче­ского ожидания а генеральной совокупности по выбороч­ной средней равна Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 64 , если известно среднее квад­ратическое отклонение Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 65 нормально распределенной генеральной совокупности.

9. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10:

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 49 -2
Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 50

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожида­ние а и дисперсию D нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительных интервалов.

Д/з

1. Найти состоятельную несмещенную оценку М * по данному распределению выборки объема Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 68 :

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 49
Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 50

2. По выборке объема 51 найдена смещенная оценка дисперсии Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 71 , найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

3.Найти состоятельную несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности по распределению выборки объема Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 72

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 49
Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 50

4. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожи­дания а нормально распределенного признака X гене­ральной совокупности, если известны генеральное сред­нее квадратическое отклонение Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 75 , выборочная средняя Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 76 и объем выборки п =25.

5. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 12:

Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 49 -0,5 -0,4 -0,2 0,2 0,6 0,8 1,2 1,5
Точечные и интервальные оценки - Инвестирование - 50

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а и дисперсию D нормально распределенного признака генеральной сово­купности с помощью доверительных интервалов.

Похожие статьи