Поделиться Поделиться

Чисельне диференціювання

До чисельного диференціювання функцій вдаються тоді, коли функція задана таблично, а тому методи диференціального числення просто незастосовні, або коли функція задана досить складним аналітичним виразом і тому обчислення похідних пов’язане із значними труднощами, хоча для сучасних пакетів це не проблема. У цьому випадку користуються наближеним диференціюванням.

Практично усі формули наближеного диференціювання базуються на тому, що задану функцію Чисельне диференціювання - Инвестирование - 1 на відрізку Чисельне диференціювання - Инвестирование - 2 , замінюють інтерполяційним поліномом Чисельне диференціювання - Инвестирование - 3 . Тоді

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 4 , (1)

де Чисельне диференціювання - Инвестирование - 5 – залишковий член інтерполяційної формули.

Якщо функція Чисельне диференціювання - Инвестирование - 1 на відрізку Чисельне диференціювання - Инвестирование - 2 має похідні до k-го, порядку включно, то, диференціюючи рівність (1) по x, знаходять:

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 8 ,

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 9 ,

………………….

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 10

За наближені значення похідних від функції Чисельне диференціювання - Инвестирование - 1 беруть перші доданки правих частин наближених рівностей:

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 12 . (2)

Слід зауважити, що з малості залишкового члена інтерполяційної формули Чисельне диференціювання - Инвестирование - 5 зовсім не випливає малість залишкового члена похідних. Наприклад, функції Чисельне диференціювання - Инвестирование - 14 і Чисельне диференціювання - Инвестирование - 15 для великих значень n можуть відрізнятися між собою, як завгодно мало

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 16 .

Але похідні від них для деяких значень х і великих значень n можуть значно відрізнятися між собою:

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 17 , Чисельне диференціювання - Инвестирование - 18 .

З наведеного прикладу та інших міркувань випливає, що із зростанням порядку похідної точність чисельного диференціювання здебільшого різко спадає. Тому на практиці формули чисельного диференціювання для похідних, вище від другого, застосовуються досить рідко.

10. Формули чисельного диференціювання, побудовані за інтерполяційною формулою Ньютона. Нехай функцію Чисельне диференціювання - Инвестирование - 1 задано у вузлах Чисельне диференціювання - Инвестирование - 20 значеннями функції Чисельне диференціювання - Инвестирование - 21 Чисельне диференціювання - Инвестирование - 22 Чисельне диференціювання - Инвестирование - 23 . Тоді інтерполяційний поліном Ньютона має вигляд

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 24 (3)

Нехай значення функції задано в рівновіддалених вузлах Чисельне диференціювання - Инвестирование - 25 Чисельне диференціювання - Инвестирование - 26 , де Чисельне диференціювання - Инвестирование - 27 . З’ясуємо зв’язок між скінченими і розділеними різницями у випадку рівновіддалених вузлів, тобто коли Чисельне диференціювання - Инвестирование - 28 . Покажемо, що справедлива формула

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 29

Доведення здійснимо методом математичної індукції. Для розділених різниць першого порядку

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 30 ,

для розділених різниць другого порядку

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 31 ,

тобто при Чисельне диференціювання - Инвестирование - 32 формула справедлива. Припустимо, що вона справедлива при Чисельне диференціювання - Инвестирование - 33 . Доведемо, що вона справедлива при Чисельне диференціювання - Инвестирование - 34 . Справді,

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 35

що і треба було довести.

При Чисельне диференціювання - Инвестирование - 36 маємо

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 37 .

Таким чином, інтерполяційний поліном Ньютона можна записати у вигляді

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 38 (4)

В обчислювальній практиці зручніше користуватись іншою формулою запису многочлена Ньютона (4). Якщо покласти

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 39 , то Чисельне диференціювання - Инвестирование - 40 , Чисельне диференціювання - Инвестирование - 41 , …, Чисельне диференціювання - Инвестирование - 42 ,

і многочлен (4) матиме вигляд

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 43 (5)

Врахувавши, що

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 44 , Чисельне диференціювання - Инвестирование - 45 ,

дістанемо:

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 46 (6)

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 47 . (7)

Поклавши в формулах (6), (7) Чисельне диференціювання - Инвестирование - 48 , дістанемо:

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 49 (8)

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 50 . (9)

Із (8), якщо взяти перший доданок, якщо взяти перші два доданки, одержуємо:

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 51 , Чисельне диференціювання - Инвестирование - 52 .

Із (9), якщо взяти перший доданок, одержуємо:

Чисельне диференціювання - Инвестирование - 53 .

Приклад 1 . У точках Чисельне диференціювання - Инвестирование - 54 і Чисельне диференціювання - Инвестирование - 55 знайти першу і другу похідні для функції Чисельне диференціювання - Инвестирование - 56 , користуючись формулою Ньютона.

Розв’язання . Користуючись програмою Mathcad побудуємо таблицю різниць. Результати обчислень наведено на лістингу 1. Тут спочатку обчислюємо значення функції у вузлах. Потім будуємо таблицю(матрицю) різниць Чисельне диференціювання - Инвестирование - 57 і записуємо формулу для наближеного обчислення похідної у загальному випадку і для точки Чисельне диференціювання - Инвестирование - 58 . Одержані результати порівнюються з точними значеннями похідної.

Похожие статьи