Поделиться Поделиться

Числовые характеристики случайных величин

Числовыми характеристикаминазываются такие характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения.

Характеристики положения– это те характеристики, которые показывают положение случайной величины на числовой оси. Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожиданиеслучайной величины, которое иногда называют просто средним значением .

Математическим ожиданиемслучайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 1 ,

где Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 2 - обозначение математического ожидания, Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 3 возможные значения случайной величины, Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 4 вероятности этих значений. Приведенное выражение справедливо для дискретной случайной величины. Эта характеристика связана своеобразной зависимостью со средним арифметическим наблюденных значений случайной величины при большом числе опытов:

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 5 ,

где Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 6 - среднее арифметическое значение случайной величины, Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 7 количество раз, когда появилось значение Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 8 , Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 9 число независимых опытов. Если математическое ожидание является постоянной величиной, то среднее арифметическое является случайной величиной, которая при увеличении числа независимых опытов до бесконечности стремится к математическому ожиданию.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется как:

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 10 ,

где Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 11 плотность распределения величины Х.

Модойслучайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Обозначается как Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 12 .

Медианойслучайной величины Х называется такое ее значение Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 13 , для которого Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 14 .

Характеристики рассеиванияоценивают разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания. Одна из наиболее важных характеристик рассеивания называется дисперсией.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины, обозначается как Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 15 . Согласно определению имеем, что Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 16 .

Для дискретной случайной величины:

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 17 .

Для непрерывной случайной величины:

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 18 .

На практике часто применяется другая формула для вычисления дисперсии:

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 19 .

Так как дисперсия имеет размерность квадрата, то для оценки рассеивания используется корень квадратный из дисперсии, называемый среднеквадратическим отклонением. Обозначается как Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 20 .

Коэффициент асимметрииприменяется для оценки отклонения закона распределения от симметричности (или «скошенности»). Обозначается, как Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 21 и вычисляется:

- для дискретных случайных величин

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 22 ,

- для непрерывных случайных величин

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 23

где Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 20 - среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Эксцессслучайной величины применяется для оценки островершинности или плосковершинности, так называемой «крутости» закона распределения. Обозначается, как Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 25 и вычисляется:

-для дискретных случайных величин

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 26 ,

- для непрерывных случайных величин:

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 27 .

Наряду с дисперсией и среднеквадратическим отклонением для оценки рассеивания иногда применяется первый абсолютный центральный момент, называемый средним арифметическим отклонением, обозначается, как Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 28 и вычисляется как математическое ожидание модуля разности:

Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 29 Числовые характеристики случайных величин - Инвестирование - 30 .

← Предыдущая страница | Следующая страница →