Поделиться Поделиться

Независимость случайных величин.

Случайные величины X, Y называются независимыми , если Независимость случайных величин. - Инвестирование - 1 , где Независимость случайных величин. - Инвестирование - 2 - функции распределения случайных величин X, Y.

Если случайные величины непрерывны, то, дифференцируя это соотношение по x, y, получим Независимость случайных величин. - Инвестирование - 3 .

Соотношение Независимость случайных величин. - Инвестирование - 4 поэтому можно считать определением независимости непрерывных случайных величин.

Длядискретных случайных величин определениенезависимости можнозаписать в виде Независимость случайных величин. - Инвестирование - 5 .

Математическое ожидание.

Математическим ожиданием функции двумерной случайной величины называется

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 6 в дискретном случае,

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 7 в непрерывном случае.

Свойства математического ожидания

1. Независимость случайных величин. - Инвестирование - 8 (Независимость случайных величин. - Инвестирование - 9 по условию нормировки)

2.Независимость случайных величин. - Инвестирование - 10

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 11 Независимость случайных величин. - Инвестирование - 12 = Независимость случайных величин. - Инвестирование - 13

3 Независимость случайных величин. - Инвестирование - 14 для независимых случайных величин.

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 15 Независимость случайных величин. - Инвестирование - 16 Независимость случайных величин. - Инвестирование - 17 Независимость случайных величин. - Инвестирование - 18 = Независимость случайных величин. - Инвестирование - 19 .

Ковариация (корреляционный момент).

Ковариациейслучайных величин называют Независимость случайных величин. - Инвестирование - 20 .

Свойства ковариации.

1.Независимость случайных величин. - Инвестирование - 21 Независимость случайных величин. - Инвестирование - 22 Независимость случайных величин. - Инвестирование - 23

2.Независимость случайных величин. - Инвестирование - 24

По свойству 1 Независимость случайных величин. - Инвестирование - 25

3. Если X, Y независимы, то Независимость случайных величин. - Инвестирование - 26 , (обратное неверно).

Если случайные величины независимы, то Независимость случайных величин. - Инвестирование - 14 , тогда по свойству 1 Независимость случайных величин. - Инвестирование - 26 .

Случайные величины называются некоррелированными,если Независимость случайных величин. - Инвестирование - 26 , из некоррелированности не следует независимость , из независимости следует некоррелированность.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y.называется Независимость случайных величин. - Инвестирование - 30 .

Можно показать, что Независимость случайных величин. - Инвестирование - 31 , поэтому Независимость случайных величин. - Инвестирование - 32 . Если Независимость случайных величин. - Инвестирование - 33 , то говорят, что между X и Y существует положительная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины, другая имеет тенденцию к возрастанию. Если Независимость случайных величин. - Инвестирование - 34 , то говорят, что между X и Y существует отрицательная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины другая имеет тенденцию к убыванию. Если Независимость случайных величин. - Инвестирование - 35 , это означает, что случайные величины X и Y некоррелированны.

Если между случайными величинами X и Y существует линейная зависимость, то Независимость случайных величин. - Инвестирование - 36 . Действительно, пусть Независимость случайных величин. - Инвестирование - 37 . В этом случае

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 38 ;

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 39 .

Тогда

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 40 .

Информацию о связи между компонентами X и Y системы (X,Y) несет корреляционная матрица , которая имеет вид

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 41 .

Матрица К является симметричной вследствие равенства Независимость случайных величин. - Инвестирование - 42 .

Кроме корреляционного момента и коэффициента корреляции , взаимная связь двух случайных величин может быть описана с помощью линий регрессии.

Действительно, при каждом значении Х = х величина Y остается случайной величиной, допускающей рассеяние своих значений, однако зависимость Y от Х сказывается также в изменении средних значений Y при переходе от одного значения X к другому. Эту зависимость и описывает кривая регрессии

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 43 .

Аналогично, зависимость X от Y, которая сказывается в изменении средних значений X при переходе от одного значения Y = y к другому, описывается кривой регрессии

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 44 .

Наиболее простым случаем будет тот, когда обе функции линейны, так что обе линии регрессии будут прямыми линиями; они называются прямыми регрессии. В этом случае будем говорить о линейной корреляции между случайными величинами X и Y.

Выведем уравнения прямых регрессии. Пусть MX = mx, MY = my, Dx = Независимость случайных величин. - Инвестирование - 45 , Dy = Независимость случайных величин. - Инвестирование - 46 , Kxy – корреляционный момент случайных величин X и Y. Будем искать уравнение прямой регрессии Y на X в виде Независимость случайных величин. - Инвестирование - 47 , где параметры A и B подлежат определению.

Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего равенства и учитывая, что Независимость случайных величин. - Инвестирование - 48 , имеем, что Независимость случайных величин. - Инвестирование - 49 . Далее

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 50 , откуда Независимость случайных величин. - Инвестирование - 51 .

Таким образом, в случае линейной корреляции уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 52 .

Аналогично уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 53 .

Если учесть, что Независимость случайных величин. - Инвестирование - 54 , то уравнения прямых регрессии могут быть переписаны в симметричной форме:

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 55 ;

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 56 .

Из уравнений прямых регрессии (3.3.13) и (3.3.14) видно, что обе прямые проходят через точку (mx,my). Угловые коэффициенты прямых регрессии равны соответственно:

Независимость случайных величин. - Инвестирование - 57 , Независимость случайных величин. - Инвестирование - 58 .

Так как Независимость случайных величин. - Инвестирование - 59 , прямая регрессии Y на X имеет меньший угол наклона к оси Ох, чем прямая регрессии X на Y. Чем ближе Независимость случайных величин. - Инвестирование - 60 к 1, тем меньше угол между этими прямыми; при Независимость случайных величин. - Инвестирование - 60 = 1 прямые регрессии сливаются. При Независимость случайных величин. - Инвестирование - 62 прямые регрессии имеют уравнения Независимость случайных величин. - Инвестирование - 63 и Независимость случайных величин. - Инвестирование - 64 , так что обе они параллельны соответствующим осям координат. В этом случае величины X и Y являются некоррелируемыми; для них Независимость случайных величин. - Инвестирование - 65 , Независимость случайных величин. - Инвестирование - 66 , т. е. условные математические ожидания совпадают с безусловными.

← Предыдущая страница | Следующая страница →