Поделиться Поделиться

Центральный момент s-го порядка

Для дискретной случайной величины Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  1 .

Для непрерывной случайной величины Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  2 . Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  3

Дисперсией называется второй центральный момент случайной величины. Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  4

По свойствам математического ожидания получим Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  5 . Эта формула часто применяется. Дисперсия – это характеристика рассеяния, она характеризует концентрацию кривой распределения (графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой оси расположить точки xi с массами pi, то дисперсия – это момент инерции системы материальных точек относительно центра тяжести mx.

Для дискретных случайных величин Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  6 .

Для непрерывных случайных величин Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  7 .

Свойства дисперсии.

1) Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  8 (под интегралом стоит квадрат функции).

2) Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  9 ( Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  10 .

3) Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  11 (выведите сами, вынося Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  12 из под суммы или из под интеграла).

Средним квадратическим отклонениемназывается Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  13 .

Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрииЦентральный момент s-го порядка - Инвестирование -  14 , эксцесс –мера островершинности распределения Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  15 , среднее арифметическое отклонениеЦентральный момент s-го порядка - Инвестирование -  16 , мода– наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медианаMe – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).

Пример.Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х1 = 0 и х2 = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х

xi
pi q p

Функция распределения равна Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  17 ,

Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p.

Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту же таблицу (так как 02 = 0 и 12 =1). Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X2) – (mx)2 = p – p2 = p(1-p) = pq.

Распределение называется равномерным на отрезке [a,b], еслиплотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка.

Из условия нормировки для плотности вероятности следует

Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  18 . Отсюда следует, что Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  19 - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b],равна

Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  20 . Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].

Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  21 ,

Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  22 = Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  23

= Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  24

Повторные испытания.

Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д.

Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).

Рассмотрим ситуацию А.

Пусть число исходов равно двум (N = 2) . Схема независимых испытаний с двумя исходами называется схемой Бернулли .

Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q = 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  25 , так как в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равна Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  26 , так как стрелок может попасть при первом, втором, … n ом выстреле. Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  27 ,так как два попадания (порядок не важен) должны быть размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично

Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  28 - формула Бернулли.

Само распределениеЦентральный момент s-го порядка - Инвестирование -  29 называют биномиальным.

В самом деле, это – коэффициенты при Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  30 в разложении по степеням Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  31

производящей функции Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  32 .

Из формулы Бернулли вытекают два следствия:

1) Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m1 раз и не менее m2 раз равна Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  33 ,

2) Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  34 Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  35 .

Если Х имеет биномиальное распределение, то Мх = np, Dx = npq.

Пусть в ситуации А число исходов равно N , а их вероятности равны p1…pN . Вычислим вероятность того, что после n испытаний i – тый исход наступит Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  36 раз Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  37

Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  38 .

Заметим, что Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  39 .

так как Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  40 .

Поэтому Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  41 . Это – полиномиальное распределение.

Заметим, что Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  42 - это коэффициенты при Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  43 в разложении по степеням Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  44 производящей функцииЦентральный момент s-го порядка - Инвестирование -  45 .

Рассмотрим ситуацию В . Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера испытания, так как условия испытаний различны. Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  42 - это коэффициенты при Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  43 в разложении по степеням Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  44 производящей функцииЦентральный момент s-го порядка - Инвестирование -  49 при N исходах.

При двух исходах Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  50 - это коэффициент при Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  30 в разложении производящей функции

Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  52 , где Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  53 .

Примеры.

1) Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одного туза?

а) Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  54 , б) Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  55 .

2) Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто. Вероятность попасть при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Какова вероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку 4 раза?

Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  56

3) Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишень равна 0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьем выстреле 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень?

Центральный момент s-го порядка - Инвестирование -  57 .

Вероятность не попасть ни разу 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.

← Предыдущая страница | Следующая страница →