Поделиться Поделиться

Полная вероятность и формула Байеса

Решим задачу о Тезее, который, выбираясь из лабиринта, в пункте А потерял нить Ариадны. Какова вероятность того, что он придет в пункт В? Тезей случайным образом выходит на ту или иную дорогу, то есть событие В происходит с одним и только с одним из полной группы попарно несовместных событий Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 1 . Они называются гипотезами. Известны вероятности этих событий Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 2 . Но далее из каждого пункта он попадет в пункт В с различной вероятностью. Эти вероятности обозначим Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 3 , где i принимает значения от 1 до n. Требуется вычислить полную ве­роятность Р(В) того, что Тезей попадет из пyнкта А в пункт В. Другими словами, пусть требуется определить вероятность события В, которое может произойти в сочетании с одним из событий А1, А2,…, Аn, образующих полную группу несовместных событий ( Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 4 Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 5 , Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 6 ). Эти события будем называть гипотезами.

       
  Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 7   Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 8
 
Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 9

А1 А2 А3

Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 10 Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 11

ВА1 ВА2 ВА3

Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 12

ВАn-2 ВАn-1 ВАn

Аn-2 Аn-1 Аn

Применяя формулу для вероятности суммы несовместных событий, получимформулу полной вероятности. : Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 13 . Вероятности Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 14 называются априорными ( a priori – (лат.) до того).

Теорема гипотез Байеса.Пусть теперь известно, что событие В произошло. Тогда Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 15 .

Требуется найти вероятности Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 16 i=l, 2, ..., n - вероятности гипотез после опыта. Они называются апостериорными ( a posteriori – (лат.) после того). Используя теорему умножения вероятностей, имеем P(ВАi) = Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 14 = Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 18

Из последнего равенства получим формулу БайесаПолная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 15 , i=1, 2, …, n, где Р(В) есть полная вероятность осуществления события В.

Пример.Имеются 2 урны, в каждой из которых находится по 10 шаров, причем в 1-й урне 7 белых и 3 черных шара, во 2-й – 2 белых и 8 черных. наудачу из одной из урн вынимается шар. а) Найти вероятность того, что вынут белый шар. б) шар оказался белым. Найти вероятность того, что он вытянут из второй урны.

а) Пусть В – вытягивание белого шара. А1 –выбор первой урны, А2 – выбор второй урны, Тогда Р(В) можно вычислить по формуле полной вероятности Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 20 , то есть Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 21 . б) . По формуле Байеса имеем Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 22 , тогда Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 23

Пример.Мышка наугад выбирает одну из двух одинаковых кормушек, состоящих из пяти ячеек. В одной кормушке сыр только в одной ячейке, в другой – в четырёх. Событие А – съесть кусочек сыра. Какова вероятность события А? Каковы вероятности того, что второй раз мышка побежит к первой корзине, ко второй корзине?

Рассмотрим гипотезы: Н1 – мышка бежит к первой кормушке, Н2 – мышка бежит ко второй кормушке. Р(Н1) =1/2 = Р(Н2) (априорные вероятности) Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 24 . Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 25

Р(Н1/A) Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 26

Р(Н2/A) Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 27 (апостериорные вероятности).

При втором подходе Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 28 , то есть мышка обучилась, второй раз она выберет первую кормушку с большей вероятностью и добьется большего успеха.

Это – один из основных принципов обучения кибернетических систем.

Схемы испытаний

Напомним, что опытом в теории вероятностей называют контролируемое осуществление некоторого комплекса условий S, которое можно повторить неограниченное число раз. Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Определение 1.Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Пример . В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Вынимают 2 шара по очереди. Событие А – вытащить 1й шар белый B и второй белый. Событие В – вытащить 2й шар белый. Покажем, что события А и В зависимы. Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 29 , Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 30 , Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 31 .

Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).

Определение 2. Схема независимых испытаний с неизменными условиямии с двумя исходамив каждом из которых некоторое случайное событие А наступает с одной и той же вероятностью p = P(A), не изменяющейся от испытания к испытанию, называется схемой Бернулли .

Схема Бернулли отвечает на следующие группы вопросов:

I.Какова вероятность того, что в серии из Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 32 независимых испытаний событие Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 33 появится ровно Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 34 раз. В этом случае любой исход n испытаний Бернулли представляет собой последовательность длины n, состоящую из k "успехов" и (n – k) "неуспехов". Вероятность каждого такого исхода по теореме умноже­ния независимых случайных событий равна pk(1 - p)n-k или pkqn-k, где q=1 - p. Число таких комбинаций равно числу способов выбора k мест из n для "ус­пеха". Тогда Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 35Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 36 формула Бернулли.

Пример . Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт ровно три туза? Карты каждый раз возвращаются в колоду. Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 37

Пример . Что вероятнее: выиграть у равносильного противника в шахматы 2 партии из трех или 3 партии из четырех? Р3(2)= Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 38 (1/2)2(1/2) = 3/8, Р4(3) = Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 39 (1/2)3(1/2) = 1/4. То есть вероятнее выиграть 2 партии из трех.

Приближения.При большом числе n повторных испытаний использование формулы Бернулли затруднительно в связи с необходимостью выполнения дейст­вий над очень большими числами.

Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 40

Случайные величины

Случайная величина – это величина (число), которая в результате опыта может принимать то или иное значение.

Более строго, случайная величина – это числовая функция случайного события. Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 41

Случайная величина называется дискретной , если множество ее значений конечно или счетно. Здесь Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 42 - алгебра событий. Например, число очков на грани брошенной кости, число бросков монеты до появления герба – дискретные случайные величины.

Случайная величина называется непрерывной,если ее значения заполняют некоторый интервал, возможно, бесконечный. Здесь Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 42 - сигма - алгебра событий. Например, расстояние от центра мишени при стрельбе, время до отказа прибора, ошибка измерения – непрерывные случайные величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую значения Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 44 . Имеем полную группу (иначе, не все значения учтены) несовместных событий Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 45 . Вероятности этих событий равны соответственно Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 46 Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 47 . Будем говорить, что дискретная случайная величина Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 48 принимает значения Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 44 с вероятностями Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 46 .

Законом распределения дискретной случайнойвеличины называется любое соотношение, устанавливающее зависимость между ее значениями Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 44 и вероятностями Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 46 , с которыми эти значения достигаются.

Основные формы закона распределения дискретной случайной величины: ряд распределения– таблица

Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 53 Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 54 ….. Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 55
Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 56 Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 57 ….. Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 58

Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 59

Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 60 многоугольник распределения

p3

p2

p1, pn

x1 x2 x3 …xn

Можно задать закон распределения в виде аналитической зависимости , связывающей значения Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 44 и вероятности Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 46 .

Рассмотрим непрерывную случайную величину. Для непрерывной случайной величины Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 63 , поэтому рассматривают события Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 64 и вероятности этих событий.

Функцией распределения непрерывной случайной величиныПолная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 65 называется вероятность события Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 64 . Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 65 = Полная вероятность и формула Байеса - Инвестирование - 68 .

← Предыдущая страница | Следующая страница →