Поделиться Поделиться

Принципы теории вероятностей.

Принцип сложения.

Напомним, что два события называются несовместными, если они одновременно произойти не могут, то есть, если АВ=Ø и совместными в противном случае. Следующие четыре утверждения и образуют принцип сложения.

Теорема 1.Для любого события Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 1 имеет место следующее равенство: Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 2 .

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 3 . Действительно, так как Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 4 , то Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 5 . Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 3

Теорема 2.Если Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 7 , то Р(А-В)=Р(А)–Р(В).

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 3 Имеем очевидное равенство А=В+(А-В), где В и А-В являются несовместными событиями. Используя аксиому 3 вероятности, имеем Р(А-В)=Р(А)–Р(В). Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 3

Теорема 3.(теорема сложения вероятностей) . Пусть мы имеем два совместных события А и В. Тогда Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 10

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 3 Преобразуем их сумму в сумму несовместных событий

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 12

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 13

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 14

Подставляя второе выражение в первое, получим

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 10 . Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 3

Пример.По мишени один раз стреляют два стрелка. Вероятность попадания первого стрелка в мишень р1 = 0,7, второго – р2 = 0,8. Какова вероятность того, что кто-нибудь из них попадет в мишень?

А = А1 + А2, А попадание в мишень; А1 – попал первый стрелок; А2 – попал второй стрелок.

Р(А) =Р(А1 + А2)=Р(А1)+ Р(А2) –Р(А1А2)= Р(А1)+Р(А2) – Р(А1 )Р(А2)= 0.7+ 0,8 – 0,7· 0,8 = 0,94.

Получим вероятность суммы трех совместных событий.

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 17

Получена формула

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)

Обобщая полученный результат на сумму n совместных событий, получим формулу

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 18

Теорема 4.Для произвольных случайных событий А1, А2, …, Аn Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 19 F имеет место равенство

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 20 .

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 3 . Учитывая, что события Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 22 и Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 23 являются взаимно противоположными, из теоремы 1 сразу получаем искомое равенство. Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 3

Принцип умножения.

Определение 1 . Вероятность события А при условии, что событие В наступило, называется условнойи обозначается Р(А/В). Если никаких дополнительных условий не накладывается, то вероятность называется безусловной . Это – обычная, определенная выше вероятность.

Пример . Пусть в аудитории присутствует N студентов. Среди них NA – число студентов, регулярно прогуливающих математику, NB – прогуливающих всё остальное, NАВ – прогуливающих и математику, и всё остальное. Выбираем одного студента. Введем следующие события:

Пустьсобытие А – случайно выбранный студент, прогуливающий математику, событие В – прогуливающий всё остальное, событие АВ – прогуливающий и математику, и всё остальное. На диаграммах Венна это выглядит так.

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 25 Тогда вероятности этих событий равны: Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 26 Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 27 Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 28 Это безусловные вероятности.

Предположим теперь, что мы захотели узнать вероятность того, что случайно выбранный прогульщик всего остального, прогуливает еще и математику. В этом случае количество всех возможных исходов NB (выбираем только прогульщиков всего), а количество благоприятных исходов – NАВ. Получим

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 29 = Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 30 = Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 31

В общем случае имеет место

Определение 2 . Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло, определяется с помощью следующего равенства:

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 32 , Р(В)>0. Аналогично определяется условная вероятность события В при условии, что событие А произошло: Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 33 , Р(А)>0

Следующее утверждение называют принципом умножения.

Теорема 1. Для любых случайных событий А,ВÎF имеет место следующее равенство:

Р(АВ)=Р(B)Р(А/В) или Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).

В случае независимых случайных событий Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В); поэтому теорему умножения для независимых случайных событий можно переписать в виде Р(АВ)=Р(А)Р(В). Это равенство используют в качестве определения независимых случайных событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий.

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 34 .

Событие А будем называть независимымот события В, если P(A/B) = P(A), т.е. если условная вероятность равна безусловной.

Определение 3 . Два события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность другого. В противном случае события называются зависимыми.

Определение 4 . События А1, А2,…, Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 35 .

Пример.Два стрелка, независимо друг от друга стреляют по одной мишени, произведя залп. Вероятности попадания в мишень для первого стрелка 0,9; для второго – 0,8. Найти вероятность того, что и мишени будет а) одна дырка; б) две дырки; в) хоть одна дырка;

Пусть А – попадание в мишень первого стрелка; В – попадание в мишень второго стрелка. Тогда Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 36 – поражение мишени (хотя бы одним стрелком), Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 37 - поражение мишени первым стрелком, Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 38 - поражение мишени вторым стрелком. а) Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 39 б) Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 40 в) Имеем Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 41 , то есть Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 42 .Или Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 43

Определение 2. Назовем событие А, событие В и событие С независимыми в совокупности, если выполняются условия:

р(АВ)=р(А)р(В), р(АС)=р(А)р(С), р(ВС)=р(В)р(С), Р(АВС)=р(А)р(В)р(С).

Аналогично определяется понятие независимости в совокупности и большего числа событий. Из определения независимости событий в совокупности следует, что формула умножения вероятностей для независимых в совокупности событий имеет вид

Принципы теории вероятностей. - Инвестирование - 44 .

Очевидно, что из независимости в совокупности следует попарная независимость случайных событий, однако можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.

Задача Бернштейна. Бросанем правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены соответственно в синий, красный, зеленый цвета, четвертая же грань окрашена всеми этими цветами одновременно. Если С, К, З – случайные события, заключающиеся в том, что тетраэдр падает на грани, окрашенные соответственно в синий, красный и зеленый цвета, то эти события попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Действительно, Р(СК)=1/4=0,5∙0,5=Р(С)×Р(К); следовательно, события С и К независимы. Аналогично Р(СЗ)=Р(С)×Р(З) и Р(КЗ)=Р(К)×Р(З). Таким образом, случайные события С,К,З – попарно независимы. Но Р(СКЗ)=1/4≠1/8=P(С)P(К)P(З); следовательно, они не являются независимыми в совокупности.

← Предыдущая страница | Следующая страница →