Поделиться Поделиться

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИбазируется на понятии ОПЫТА (ЭКСПЕРИМЕНТА) или НАБЛЮДЕНИЯ .

Определение 1. ОПЫТОМ (ЭКСПЕРИМЕНТОМ) называют контролируемое осуществление некоторого комплекса условий S, которое можно повторить неограниченное число раз.

Комментарий.Практически речь идёт об очень большом числе мало отличающихся (в определённом смысле) между собой условий.

Определение 2. При НАБЛЮДЕНИИ мы полагаем ,чтокомплекс условий S воспроизводится самой природой.

Определение 3. СОБЫТИЕМ называют назначенный заранее результат опыта.

Комментарий.События бывают: достоверные (всегда происходят при создании комплекса условий S), невозможные (никогда не происходят при создании комплекса условий S) и случайные.

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  1

Примеры . 1. Мы бросаем монету; заранее нельзя предсказaть, как она упадет: гербом или решкой. 2. вынимаем наугад карту из колоды. Заранее нельзя сказать, какой она будет масти.

Комментарий.Все эти примеры относятся к области случайных явлений. B каждом из них исход опыта заранее непредсказуем. Если такие опыты c неопределенным исходом повторять раз за разом, то от раза к разу результат бyдет меняться. Например, взвешивая несколько раз подряд одно и то же тело на точных весах, мы будем получать, вообще говоря, различные значения веса. B чем причина этих различии?

Во первых, в том, что условия опыта, которые нам представляются одинаковыми, собственно говоря, различны: на исход каждого из них влияет множество малых, трудно уловимых факторов, обусловливающих в своей совокyпности неопределенность исхода.

Во вторых, мы можем просто не знать всех элементов комплекса условий, достаточных для получения детерминированного результата. Например, если мы измеряем температуру кипения воды в разных точках земли, но не догадываемся о том, что она зависит от атмосферного давления, а, следовательно, от высоты подъёма над уровнем моря. «Случайность есть вообще лишь нечто такое, что имеет основание своего бытия нe в самом себе, а в другом» (Г. В. Ф. Гегель. Энциклопедия философских наук. Т. 1. Наука логики. § 145).

Определение 4. Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей называют случайным событием.Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т. д.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторикой (от латинского combinare - соединять) называют раздел математики, в котором изучаются задачи на подсчёт количества комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, которые можно составлять из элементов данного множества. В этом смысле комбинаторика - это часть теории множеств. Комбинаторные методы находят широкое применение внутри самой математики. Это и дискретная математика и линейное программирование и теория вероятностей и математическая статистика и алгебра и геометрия и теория управления и теория информации, в частности, проблема создания надежных шифров и, наоборот, создание эффективных методов декодирования. Они также эффективны и в приложениях математики в технике и естествознании (разработка сетей компьютеров, составление расписаний, контроль качества продукции и так далее.).

1. ПРИНЦИПЫ КОМБИНАТОРИКИ. B основе решения комбинаторных задач лежат два принципа: - принцип суммы и принцип произведения.

1.1. Принцип суммы.Если существует m способов выбрать элемент a и (независимо от них) n способов выбрать элемент b, то выбор a или b можно сделать m + n способами. Например, если в группе 7 мальчиков и 9 девочек, то выбор “мальчик или девочка” можно сделать 16 способами - выбрать либо одного из 7 мальчиков, либо одну из 9 девочек.

1.2.Принцип произведения. Если элемент I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  2 можно выбрать I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  3 способами, а после него и независимо от него элемент а2 - n2 способами, элемент ak - nk сnособами, то набор (а1,.., ak ) можно выбратъ I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  4 сnособами. Например, если в нашем распоряжении m способов выбрать элемент a и n способов выбрать элемент b, то пару (а, b) можно выбрать mn способами. Таким образом, пару “мальчик и девочка” можно выбрать I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  5 способами. Ещё пример: Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белyю и чёрную ладью так, чтобы они не били друг друга? Поле для белой ладьи можно выбрать 64 способами. Независимо от этого выбора, ладья бьёт 15 полей, поэтомy для черной ладьи остается 64 - 15= 49 пoлей. В более сложном случае надо сначала выбрать элемент а, а потом, в зависимости от этого выбора, элемент b. Но если элемент а можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора элемент b можно выбрать n способами, то число различных пар (а,b) опять равно mn. С помощью правил суммы и произведения можно решать любые задачи комбинаторики. Но это не удобно, это всё равно, что сводить решение любой геометрической задачи к аксиомам. Поэтому в комбинаторике есть несколько простейших, стандартных задач, к которым часто удается свести решение других задач.

Геометрическая вероятность

Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно редко. Отношение Р(А)= NA/N представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.

Пример. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов на определенном месте, причем первый студент, пришедший на место, ждет товарища 15 минут и уходит. Какова вероятность встречи? Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x - время прихода первого студента, y – время прихода второго студента. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  6 Тогда множество |x-y|<1/4, 0<x<1, 0<x<1, 0<y<1 содержит точки (события) встречи студентов. Его мера (площадь) mesA равна 1- (3/4)2 = 7/16. Так как mesW =1, то P(A) = 7/16.

Принцип сложения.

Напомним, что два события называются несовместными, если они одновременно произойти не могут, то есть, если АВ=Ø и совместными в противном случае. Следующие четыре утверждения и образуют принцип сложения.

Теорема 1.Для любого события I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  7 имеет место следующее равенство: I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  8 .

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  9 . Действительно, так как I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  10 , то I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  11 . I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  9

Теорема 2.Если I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  13 , то Р(А-В)=Р(А)–Р(В).

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  9 Имеем очевидное равенство А=В+(А-В), где В и А-В являются несовместными событиями. Используя аксиому 3 вероятности, имеем Р(А-В)=Р(А)–Р(В). I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  9

Теорема 3.(теорема сложения вероятностей) . Пусть мы имеем два совместных события А и В. Тогда I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  16

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  9 Преобразуем их сумму в сумму несовместных событий

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  18

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  19

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  20

Подставляя второе выражение в первое, получим

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  16 . I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  9

Пример.По мишени один раз стреляют два стрелка. Вероятность попадания первого стрелка в мишень р1 = 0,7, второго – р2 = 0,8. Какова вероятность того, что кто-нибудь из них попадет в мишень?

А = А1 + А2, А попадание в мишень; А1 – попал первый стрелок; А2 – попал второй стрелок.

Р(А) =Р(А1 + А2)=Р(А1)+ Р(А2) –Р(А1А2)= Р(А1)+Р(А2) – Р(А1 )Р(А2)= 0.7+ 0,8 – 0,7· 0,8 = 0,94.

Получим вероятность суммы трех совместных событий.

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  23

Получена формула

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)

Обобщая полученный результат на сумму n совместных событий, получим формулу

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  24

Теорема 4.Для произвольных случайных событий А1, А2, …, Аn I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  25 F имеет место равенство

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  26 .

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  9 . Учитывая, что события I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  28 и I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  29 являются взаимно противоположными, из теоремы 1 сразу получаем искомое равенство. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  9

Принцип умножения.

Определение 1 . Вероятность события А при условии, что событие В наступило, называется условнойи обозначается Р(А/В). Если никаких дополнительных условий не накладывается, то вероятность называется безусловной . Это – обычная, определенная выше вероятность.

Пример . Пусть в аудитории присутствует N студентов. Среди них NA – число студентов, регулярно прогуливающих математику, NB – прогуливающих всё остальное, NАВ – прогуливающих и математику, и всё остальное. Выбираем одного студента. Введем следующие события:

Пустьсобытие А – случайно выбранный студент, прогуливающий математику, событие В – прогуливающий всё остальное, событие АВ – прогуливающий и математику, и всё остальное. На диаграммах Венна это выглядит так.

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  31 Тогда вероятности этих событий равны: I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  32 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  33 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  34 Это безусловные вероятности.

Предположим теперь, что мы захотели узнать вероятность того, что случайно выбранный прогульщик всего остального, прогуливает еще и математику. В этом случае количество всех возможных исходов NB (выбираем только прогульщиков всего), а количество благоприятных исходов – NАВ. Получим

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  35 = I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  36 = I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  37

В общем случае имеет место

Определение 2 . Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло, определяется с помощью следующего равенства:

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  38 , Р(В)>0. Аналогично определяется условная вероятность события В при условии, что событие А произошло: I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  39 , Р(А)>0

Следующее утверждение называют принципом умножения.

Теорема 1. Для любых случайных событий А,ВÎF имеет место следующее равенство:

Р(АВ)=Р(B)Р(А/В) или Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).

В случае независимых случайных событий Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В); поэтому теорему умножения для независимых случайных событий можно переписать в виде Р(АВ)=Р(А)Р(В). Это равенство используют в качестве определения независимых случайных событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий.

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  40 .

Событие А будем называть независимымот события В, если P(A/B) = P(A), т.е. если условная вероятность равна безусловной.

Определение 3 . Два события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность другого. В противном случае события называются зависимыми.

Определение 4 . События А1, А2,…, Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  41 .

Пример.Два стрелка, независимо друг от друга стреляют по одной мишени, произведя залп. Вероятности попадания в мишень для первого стрелка 0,9; для второго – 0,8. Найти вероятность того, что и мишени будет а) одна дырка; б) две дырки; в) хоть одна дырка;

Пусть А – попадание в мишень первого стрелка; В – попадание в мишень второго стрелка. Тогда I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  42 – поражение мишени (хотя бы одним стрелком), I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  43 - поражение мишени первым стрелком, I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  44 - поражение мишени вторым стрелком. а) I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  45 б) I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  46 в) Имеем I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  47 , то есть I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  48 .Или I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  49

Определение 2. Назовем событие А, событие В и событие С независимыми в совокупности, если выполняются условия:

р(АВ)=р(А)р(В), р(АС)=р(А)р(С), р(ВС)=р(В)р(С), Р(АВС)=р(А)р(В)р(С).

Аналогично определяется понятие независимости в совокупности и большего числа событий. Из определения независимости событий в совокупности следует, что формула умножения вероятностей для независимых в совокупности событий имеет вид

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  50 .

Очевидно, что из независимости в совокупности следует попарная независимость случайных событий, однако можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.

Задача Бернштейна. Бросанем правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены соответственно в синий, красный, зеленый цвета, четвертая же грань окрашена всеми этими цветами одновременно. Если С, К, З – случайные события, заключающиеся в том, что тетраэдр падает на грани, окрашенные соответственно в синий, красный и зеленый цвета, то эти события попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Действительно, Р(СК)=1/4=0,5∙0,5=Р(С)×Р(К); следовательно, события С и К независимы. Аналогично Р(СЗ)=Р(С)×Р(З) и Р(КЗ)=Р(К)×Р(З). Таким образом, случайные события С,К,З – попарно независимы. Но Р(СКЗ)=1/4≠1/8=P(С)P(К)P(З); следовательно, они не являются независимыми в совокупности.

Схемы испытаний

Напомним, что опытом в теории вероятностей называют контролируемое осуществление некоторого комплекса условий S, которое можно повторить неограниченное число раз. Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Определение 1.Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Пример . В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Вынимают 2 шара по очереди. Событие А – вытащить 1й шар белый B и второй белый. Событие В – вытащить 2й шар белый. Покажем, что события А и В зависимы. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  51 , I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  52 , I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  53 .

Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).

Определение 2. Схема независимых испытаний с неизменными условиямии с двумя исходамив каждом из которых некоторое случайное событие А наступает с одной и той же вероятностью p = P(A), не изменяющейся от испытания к испытанию, называется схемой Бернулли .

Схема Бернулли отвечает на следующие группы вопросов:

I.Какова вероятность того, что в серии из I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  54 независимых испытаний событие I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  55 появится ровно I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  56 раз. В этом случае любой исход n испытаний Бернулли представляет собой последовательность длины n, состоящую из k "успехов" и (n – k) "неуспехов". Вероятность каждого такого исхода по теореме умноже­ния независимых случайных событий равна pk(1 - p)n-k или pkqn-k, где q=1 - p. Число таких комбинаций равно числу способов выбора k мест из n для "ус­пеха". Тогда I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  57I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  58 формула Бернулли.

Пример . Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт ровно три туза? Карты каждый раз возвращаются в колоду. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  59

Пример . Что вероятнее: выиграть у равносильного противника в шахматы 2 партии из трех или 3 партии из четырех? Р3(2)= I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  60 (1/2)2(1/2) = 3/8, Р4(3) = I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  61 (1/2)3(1/2) = 1/4. То есть вероятнее выиграть 2 партии из трех.

Приближения.При большом числе n повторных испытаний использование формулы Бернулли затруднительно в связи с необходимостью выполнения дейст­вий над очень большими числами.

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  62

Случайные величины

Случайная величина – это величина (число), которая в результате опыта может принимать то или иное значение.

Более строго, случайная величина – это числовая функция случайного события. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  63

Случайная величина называется дискретной , если множество ее значений конечно или счетно. Здесь I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  64 - алгебра событий. Например, число очков на грани брошенной кости, число бросков монеты до появления герба – дискретные случайные величины.

Случайная величина называется непрерывной,если ее значения заполняют некоторый интервал, возможно, бесконечный. Здесь I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  64 - сигма - алгебра событий. Например, расстояние от центра мишени при стрельбе, время до отказа прибора, ошибка измерения – непрерывные случайные величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую значения I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  66 . Имеем полную группу (иначе, не все значения учтены) несовместных событий I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  67 . Вероятности этих событий равны соответственно I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  68 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  69 . Будем говорить, что дискретная случайная величина I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  70 принимает значения I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  66 с вероятностями I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  68 .

Законом распределения дискретной случайнойвеличины называется любое соотношение, устанавливающее зависимость между ее значениями I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  66 и вероятностями I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  68 , с которыми эти значения достигаются.

Основные формы закона распределения дискретной случайной величины: ряд распределения– таблица

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  75 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  76 ….. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  77
I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  78 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  79 ….. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  80

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  81

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  82 многоугольник распределения

p3

p2

p1, pn

x1 x2 x3 …xn

Можно задать закон распределения в виде аналитической зависимости , связывающей значения I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  66 и вероятности I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  68 .

Рассмотрим непрерывную случайную величину. Для непрерывной случайной величины I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  85 , поэтому рассматривают события I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  86 и вероятности этих событий.

Функцией распределения непрерывной случайной величиныI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  87 называется вероятность события I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  86 . I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  87 = I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  90 .

Свойства дисперсии.

1) I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  91 (под интегралом стоит квадрат функции).

2) I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  92 ( I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  93 .

3) I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  94 (выведите сами, вынося I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  95 из под суммы или из под интеграла).

Средним квадратическим отклонениемназывается I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  96 .

Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрииI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  97 , эксцесс –мера островершинности распределения I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  98 , среднее арифметическое отклонениеI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  99 , мода– наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медианаMe – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).

Пример.Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х1 = 0 и х2 = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х

xi
pi q p

Функция распределения равна I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  100 ,

Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p.

Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту же таблицу (так как 02 = 0 и 12 =1). Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X2) – (mx)2 = p – p2 = p(1-p) = pq.

Распределение называется равномерным на отрезке [a,b], еслиплотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка.

Из условия нормировки для плотности вероятности следует

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  101 . Отсюда следует, что I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  102 - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b],равна

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  103 . Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  104 ,

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  105 = I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  106

= I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  107

Повторные испытания.

Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д.

Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).

Рассмотрим ситуацию А.

Пусть число исходов равно двум (N = 2) . Схема независимых испытаний с двумя исходами называется схемой Бернулли .

Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q = 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  108 , так как в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равна I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  109 , так как стрелок может попасть при первом, втором, … n ом выстреле. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  110 ,так как два попадания (порядок не важен) должны быть размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  111 - формула Бернулли.

Само распределениеI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  112 называют биномиальным.

В самом деле, это – коэффициенты при I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  113 в разложении по степеням I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  114

производящей функции I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  115 .

Из формулы Бернулли вытекают два следствия:

1) Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m1 раз и не менее m2 раз равна I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  116 ,

2) Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  117 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  118 .

Если Х имеет биномиальное распределение, то Мх = np, Dx = npq.

Пусть в ситуации А число исходов равно N , а их вероятности равны p1…pN . Вычислим вероятность того, что после n испытаний i – тый исход наступит I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  119 раз I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  120

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  121 .

Заметим, что I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  122 .

так как I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  123 .

Поэтому I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  124 . Это – полиномиальное распределение.

Заметим, что I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  125 - это коэффициенты при I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  126 в разложении по степеням I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  127 производящей функцииI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  128 .

Рассмотрим ситуацию В . Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера испытания, так как условия испытаний различны. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  125 - это коэффициенты при I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  126 в разложении по степеням I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  127 производящей функцииI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  132 при N исходах.

При двух исходах I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  133 - это коэффициент при I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  113 в разложении производящей функции

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  135 , где I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  136 .

Примеры.

1) Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одного туза?

а) I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  137 , б) I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  138 .

2) Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто. Вероятность попасть при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Какова вероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку 4 раза?

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  139

3) Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишень равна 0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьем выстреле 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень?

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  140 .

Вероятность не попасть ни разу 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.

Свойства плотности.

1. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  141 (функция распределения – неубывающая функция).

2. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  142 (по свойству 5 функции распределения) Справедливо обобщение I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  143 .

3. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  144

4. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  145 (по свойству 4 функции распределения)

5. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  146

6. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  147 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  148 , I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  149 (Свойство 7 функции распределения)

Математическое ожидание.

Математическим ожиданием функции двумерной случайной величины называется

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  150 в дискретном случае,

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  151 в непрерывном случае.

Свойства ковариации.

1.I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  152 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  153 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  154

2.I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  155

По свойству 1 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  156

3. Если X, Y независимы, то I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  157 , (обратное неверно).

Если случайные величины независимы, то I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  158 , тогда по свойству 1 I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  157 .

Случайные величины называются некоррелированными,если I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  157 , из некоррелированности не следует независимость , из независимости следует некоррелированность.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y.называется I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  161 .

Можно показать, что I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  162 , поэтому I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  163 . Если I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  164 , то говорят, что между X и Y существует положительная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины, другая имеет тенденцию к возрастанию. Если I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  165 , то говорят, что между X и Y существует отрицательная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины другая имеет тенденцию к убыванию. Если I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  166 , это означает, что случайные величины X и Y некоррелированны.

Если между случайными величинами X и Y существует линейная зависимость, то I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  167 . Действительно, пусть I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  168 . В этом случае

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  169 ;

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  170 .

Тогда

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  171 .

Информацию о связи между компонентами X и Y системы (X,Y) несет корреляционная матрица , которая имеет вид

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  172 .

Матрица К является симметричной вследствие равенства I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  173 .

Кроме корреляционного момента и коэффициента корреляции , взаимная связь двух случайных величин может быть описана с помощью линий регрессии.

Действительно, при каждом значении Х = х величина Y остается случайной величиной, допускающей рассеяние своих значений, однако зависимость Y от Х сказывается также в изменении средних значений Y при переходе от одного значения X к другому. Эту зависимость и описывает кривая регрессии

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  174 .

Аналогично, зависимость X от Y, которая сказывается в изменении средних значений X при переходе от одного значения Y = y к другому, описывается кривой регрессии

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  175 .

Наиболее простым случаем будет тот, когда обе функции линейны, так что обе линии регрессии будут прямыми линиями; они называются прямыми регрессии. В этом случае будем говорить о линейной корреляции между случайными величинами X и Y.

Выведем уравнения прямых регрессии. Пусть MX = mx, MY = my, Dx = I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  176 , Dy = I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  177 , Kxy – корреляционный момент случайных величин X и Y. Будем искать уравнение прямой регрессии Y на X в виде I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  178 , где параметры A и B подлежат определению.

Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего равенства и учитывая, что I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  179 , имеем, что I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  180 . Далее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  181 , откуда I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  182 .

Таким образом, в случае линейной корреляции уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  183 .

Аналогично уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  184 .

Если учесть, что I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  185 , то уравнения прямых регрессии могут быть переписаны в симметричной форме:

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  186 ;

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  187 .

Из уравнений прямых регрессии (3.3.13) и (3.3.14) видно, что обе прямые проходят через точку (mx,my). Угловые коэффициенты прямых регрессии равны соответственно:

I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  188 , I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  189 .

Так как I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  190 , прямая регрессии Y на X имеет меньший угол наклона к оси Ох, чем прямая регрессии X на Y. Чем ближе I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  191 к 1, тем меньше угол между этими прямыми; при I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  191 = 1 прямые регрессии сливаются. При I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  193 прямые регрессии имеют уравнения I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  194 и I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  195 , так что обе они параллельны соответствующим осям координат. В этом случае величины X и Y являются некоррелируемыми; для них I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  196 , I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ - Инвестирование -  197 , т. е. условные математические ожидания совпадают с безусловными.

ПОНЯТИЕ ВЫБОРКИ.

Понятие выборки и способов её получения есть одно из центральных понятий математической статистики. Говорят, что каждая третья студентка Гарвардского университета выходит замуж за одного из своих преподавателей. На самом же деле в 1901 году в университете обучались только З девушки, одна из которых вышла замуж за своего профессора. Ясно, что в данном случае недостаточен объём выборки.Но не так просто сказать, какойобъём выборки достаточен.

Рассмотрим ещё пример. Пусть имеется партия из 10000 номинально идентичных изделий. Известно, что некоторые из этих изделий дефектны: их критические размеры лежат вне допустимых границ. Требуется оценить долю (скажем, В) дефектных изделий в партии на основе результатов точного измерения размеров, проведенного на выборке из 20 изделий, взятых из партии. Рассмотрим процедуру формирования выборки. Предположим, что она организована следующим образом: 20 изделий должны быть выбраны «случайно», т. е. таким образом, чтобы при каждом акте выбора все изделия в партии имели бы одинаковый шанс быть отобранными. Так как

← Предыдущая страница | Следующая страница →