Поделиться Поделиться

Проверка статистической гипотезы о среднем

Пусть Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  1 - случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  2 и дисперсией Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  3 . Процедуры и выводы этого раздела можно применять и в тех случаях, когда случайная величина Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  1 распределена не точно по нормальному закону, но близко к нему.

Сначала рассмотрим случай, когда математическое ожидание Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  2 этой случайной величины Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  1 неизвестно и его необходимо определить, но дисперсия Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  3 этой случайной величины известна.

Типичная статистическая гипотеза в этом случае может быть сформулирована так: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  8 , где Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  9 - предполагаемое значение математического ожидания. Альтернативные гипотезы для этой нулевой могут быть трёх разных вариантов: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  10 (двусторонняя гипотеза), Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  11 (левосторонняя гипотеза) или Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  12 (правосторонняя гипотеза). Неравенства в односторонних гипотезах можно заменять нестрогими, результаты проверки от этого не изменятся, потому что вероятность принять какое-то конкретное значение для нормальной случайной величины равна нулю.

В предположении, что дисперсия Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  3 случайной величины Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  1 известна, в качестве статистического критерия можно использовать Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  15 -оценку: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  16 , где Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  17 - средняя по выборке, Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  18 - предполагаемое значение средней по генеральной совокупности, Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  19 - стандартное квадратичное отклонение в генеральной совокупности, Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  20 - объём выборки. Вычисленное значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  15 -оценки следует сравнить с критическим. А вывод о том, принимать или отклонять нулевую гипотезу определяется тем, как сформулированы альтернативные гипотезы.

Случай 1. Альтернативная гипотеза представлена двусторонним неравенством Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  10 (двусторонняя гипотеза).

Пусть уровень значимости равен Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  23 . По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  24 - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  23 .

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  26 . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  27 попадает в критическую область.

Случай 2. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  28 (односторонняя гипотеза).

Пусть уровень значимости равен Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  23 . По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  24 - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  23 .

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  32 . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  27 попадает в критическую область.

Случай 3. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  34 (односторонняя гипотеза).

Пусть уровень значимости равен Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  23 . По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  24 - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  23 .

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  38 . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  27 попадает в критическую область.

В предположении, что дисперсия Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  3 случайной величины Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  1 неизвестна, в качестве статистического критерия можно использовать Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  42 -распределение Стьюдента: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  43 , где Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  17 - средняя по выборке, Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  18 - предполагаемое значение средней по генеральной совокупности, Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  46 - стандартное квадратичное отклонение в выборке, определённое с учётом поправки на несмещённость, Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  20 - объём выборки. В таком случае число степеней свободы, от которого зависят значения Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  42 -распределения Стьюдента, будет равно Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  49 . Вычисленное значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  50 следует сравнить с критическим Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  51 , определяемым как аргумент функции распределения Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  42 -распределения Стьюдента, при котором значение этой функции распределения равно уровню значимости Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  23 . А вывод о том, принимать или отклонять нулевую гипотезу определяется тем, как сформулированы альтернативные гипотезы.

Случай 1. Альтернативная гипотеза представлена двусторонним неравенством Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  10 (двусторонняя гипотеза). Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  55 . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  56 попадает в критическую область.

Случай 2. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  57 (односторонняя гипотеза). Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  58 . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  59 попадает в критическую область.

Случай 3. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  60 (односторонняя гипотеза). Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  61 . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  59 попадает в критическую область.

Пример. Владелец небольшого магазина утверждает, что среднедневная выручка за прошлый год у него составила 35000 рублей. Для проверки были выбраны 40 дней этого года, по которым среднедневная выручка составила 33500 рублей при стандартном отклонении 3500 рублей. Можно ли на уровне значимости 0,95 доверять утверждению владельца магазина о его среднедневной выручке за прошлый год? А на уровне значимости 0,99?

В данном случае нулевой гипотезой будем считать равенство среднедневных выручек по данным владельца магазина и по данным выборочной проверки. Альтернативной гипотезой будем считать неравенство этих средних. Поскольку нам известно стандартное отклонение только для выборочной проверки, в качестве статистического критерия необходимо использовать Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  42 -распределение Стьюдента.

Вычисляем значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  42 -распределения Стьюдента при средней по генеральной совокупности Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  65 , среднем по выборке Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  66 , стандартном отклонении по выборке Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  67 , объёме выборки Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  68 , а потому числе степеней свободы Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  69 : Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  70 .

Для уровня значимости 0,95 и числе степеней свободы 39 определяем критическое значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  42 -распределения Стьюдента, оно равно 2,0227. При этом для расчётов в Microsoft Excel необходимо использовать функцию =СТЬЮДРАСПОБР, а в качестве уровня значимости его американское значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  72 . В нашем случае получается, что вычисленное значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  42 -распределения Стьюдента лежит вне области допустимых значений, потому что 2,7105>2,0227. Следовательно, на уровне значимости 0,95 нулевая гипотеза отвергается, и владелец магазина занизил среднедневную выручку за прошлый год. Аналогично, на уровне значимости 0,99 критическое значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  42 -распределения Стьюдента будет равно 2,7079. И на этом, более высоком уровне значимости вычисленное значение Проверка статистической гипотезы о среднем - Инвестирование -  42 -распределения Стьюдента лежит вне области допустимых значений, потому что 2,7105>2,7079. Следовательно, с ещё большей достоверностью, можно утверждать, что владелец магазина занизил среднедневную выручку за прошлый год.

← Предыдущая страница | Следующая страница →