Поделиться Поделиться

Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении

Пусть теперь остаётся неизвестным как значение математического ожидания некоторого параметра генеральной совокупности Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  1 , так и значение его дисперсии Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  2 в этой генеральной совокупности. Но, как и ранее, нам необходимо найти значение математического ожидания этого параметра генеральной совокупности Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  1 .

Как и ранее, предполагаем, что значения этого параметра в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Это не всегда легко проверить. Часто для проверки используются те или иные варианты законов больших чисел. Обычно, например, распределения, близкие к нормальным получаются в ситуациях действия многих относительно слабых и независимых факторов, которые могут определить значение этого параметра в генеральной совокупности.

Напомним, что существует несмещённая оценка стандартного квадратичного отклонения значений рассматриваемого параметра генеральной совокупности, и такой оценкой является величина Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  4 .

Построим новую случайную величину Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  5 . Можно доказать, что эта случайная величина Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  6 имеет распределение Стьюдента с Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  7 степенями свободы. Значения этой случайной величины будем обозначать через Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  8 .

К распределению Стьюдента целесообразно перейти потому, что как доказывается оно не зависит от неизвестных нам параметров генеральной совокупности Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  9 и Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  10 . Тогда аналогично предыдущему можно решить уравнение Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  11 . Решением этого уравнения является Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  12 - значение аргумента функции распределения Стьюдента, для которого значение равно Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  13 при числе степеней свободы Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  14 . Это значение аргумента Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  12 можно найти либо по таблицам функции распределения Стьюдента, либо расчётным путём из функции, обратной к функции распределения Стьюдента. Последняя возможность имеется, например, в электронных таблицах Microsoft Excel. Нужно только помнить, что значения функции распределения Стьюдента нужно использовать для Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  7 степеней свободы, т.е. на 1 меньшую объёма выборки. Можно доказать, что при объёме выборки Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  17 в расчётах интервальных оценок можно пользоваться функцией Лапласа вместо функции распределения Стьюдента для Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  7 степеней свободы.

После определения Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  19 можно утверждать, что с доверительной вероятностью Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  20 неизвестное значение средней параметра генеральной совокупности находится в доверительном интервале Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  21 , т.е. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  22 , где Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  23 - это реализация средней в сделанной выборке из генеральной совокупности, а Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  24 - это несмещённая оценка стандартного квадратичного отклонения значений рассматриваемого параметра генеральной совокупности, сделанная по этой выборке.

Таким образом, последовательность действий для определения доверительного интервала математического ожидания Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  1 некоторого параметра в генеральной совокупности при неизвестном значении дисперсии распределения этого параметра генеральной совокупности с заданной доверительной вероятностью Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  26 должна быть следующей.

1. Вычисляем несмещённую оценку стандартного квадратичного отклонения значений рассматриваемого параметра генеральной совокупности Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  4 .

2. По таблицам t-распределения Стьюдента или вычислениями в Microsoft Excel находим такое значение Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  28 , для которого Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  29 . Нужно использовать так называемую двустороннюю постановку вопроса, чтобы доверительная вероятность Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  30 определяла ширину всего доверительного интервала, а не его половины. В случае t-распределения Стьюдента вычислять половину доверительной вероятности не следует.

3. Вычисляется половина доверительного интервала Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  31 по формуле Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  32 .

4. Доверительный интервал записывается в виде Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  33 или Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  22 .

На этом вычисление доверительного интервала при данных условиях заканчивается.

← Предыдущая страница | Следующая страница →