Поделиться Поделиться

Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении

Известно значение дисперсии Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  1 распределения некоторого параметра генеральной совокупности. Обозначим неизвестное нам значение математического ожидания этого параметра генеральной совокупности через Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  2 , интервальную оценку которого нам необходимо найти.

Предполагаем, что значения этого параметра в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Это не всегда легко проверить. Часто для проверки используются те или иные варианты законов больших чисел. Обычно, например, распределения, близкие к нормальным получаются в ситуациях действия многих относительно слабых и независимых факторов, которые могут определить значение этого параметра в генеральной совокупности.

В большинстве случаев необходимо не то, что значения этого параметра в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Пусть сделана выборка Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  3 из распределения Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  4 для случайной величины Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  5 . Достаточно того, чтобы по нормальному закону были распределены значения выборочной средней Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  6 . Можно доказать, что при достаточно больших объёмах выборок ( Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  7 ) закон распределения выборочной средней будет близок к нормальному. Этот вывод обосновывается применением законов больших чисел.

Как мы уже выяснили, математическое ожидание выборочной средней равно математическому ожиданию или среднему значений в генеральной совокупности: Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  8 , а дисперсия выборочной средней будет Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  9 . Тогда стандартное квадратичное отклонение для Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  10 будет равно Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  11 .

Предположим, что мы задали доверительную вероятность Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  12 , с которой значение среднего генеральной совокупности попадает в доверительный интервал, т.е. выполняется Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  13 . В этом соотношении Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  12 известно, задано, а Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  15 нужно определить. Поскольку Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  16 является случайной величиной, распределённой по нормальному закону, для неё по свойствам функции распределения для нормального закона:

Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  17

Напомним, что здесь Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  18 - это функция Лапласа, определяющая значения функции распределения стандартной нормальной случайной величины с математическим ожиданием или средней, равной 0, а дисперсией – 1.

У нас получилось, что Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  19 . Из этого соотношения нужно найти Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  20 . Если мы для удобства обозначим через Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  21 , то получим возможность выразить через Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  22 значение половины ширины доверительного интервала: Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  23 . А значение Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  24 определяется из уравнения Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  25 . На практике значение Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  24 определяют либо по таблицам функции Лапласа, либо расчётным путём из функции, обратной к функции Лапласа. Последняя возможность имеется, например, в электронных таблицах Microsoft Excel.

В результате получилось, что при заданном значении дисперсии Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  1 распределения значений параметра в генеральной совокупности на уровне доверительной вероятности Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  12 значение его средней Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  29 в генеральной совокупности находится внутри доверительного интервала Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  30 , т.е. Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  31 , где Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  32 - это реализация средней в сделанной выборке из генеральной совокупности.

Как видно, при возрастании объёма выборки точность такой интервальной оценки увеличивается, потому что значение Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  23 уменьшается. С другой стороны, Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  34 - это возрастающая функция, поэтому из уравнения Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  35 получается, что увеличение уровня доверительной вероятности приводит к увеличению значения Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  36 , а, следовательно, и Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  23 , т.е. приводит к снижению точности интервальной оценки. Можно сказать, что чем точнее интервальная оценка, тем ниже её доверительная вероятность, а чем менее точна интервальная оценка, тем с большей точностью её можно сделать.

Заметим, что эти формулы были получены для повторной выборки. Для бесповторной выборки логика вывода остаётся неизменной, но необходимо использовать дополнительный множитель в определении Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  38 , где Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  39 - это объём генеральной совокупности. Если Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  40 мало, например, когда объём генеральной совокупности Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  41 велик или бесповторная выборка имеет объём малый относительно объёма генеральной совокупности, множитель Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  42 с высокой точностью равен 1, и им можно пренебречь. В этом случае для бесповторной выборки можно использовать те же формулы, что и для повторной без существенного снижения уровня точности определения ширины доверительного интервала.

Таким образом, последовательность действий для определения доверительного интервала математического ожидания Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  2 некоторого параметра в генеральной совокупности при известном значении дисперсии Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  1 распределения этого параметра генеральной совокупности с заданной доверительной вероятностью Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  45 должна быть следующей.

1. Вычисляем значение половины доверительной вероятности Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  46 .

2. По таблицам функции Лапласа Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  47 или вычислениями в Microsoft Excel находим такое значение Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  36 , для которого Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  25 . При вычислениях в Microsoft Excel, а иногда и при использовании статистических таблиц часто вместо функции Лапласа Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  50 используют функцию Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  51 . В таких случаях для пересчёта значений нужно воспользоваться соотношением Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  52 и тогда решать уравнение: Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  53 , т.е. искать такое значение Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  36 , для которого Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  55 или записанное иначе Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  56 .

3. Вычисляется половина доверительного интервала Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  57 по формуле Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  23 .

4. Доверительный интервал записывается в виде Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  59 или Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении - Инвестирование -  31 .

На этом вычисление доверительного интервала при данных условиях заканчивается.

← Предыдущая страница | Следующая страница →