Поделиться Поделиться

Статистическая оценка вероятности или генеральной доли

Пусть генеральная совокупность содержит Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 1 элементов, а из них Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 2 элементов обладают некоторым свойством. Тогда доля элементов в генеральной совокупности, обладающая этим свойством, равна Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 3 . Эту долю можно интерпретировать как вероятность того, что произвольно и случайно взятый из генеральной совокупности элемент будет обладать этим свойством. Величина Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 3 называется генеральной долей.

Генеральная доля непосредственно может быть определена в переписи генеральной совокупности. Оценка генеральной доли может быть дана по выборке из генеральной совокупности.

Если построена выборка из Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 5 элементов, а в ней этим свойством обладает Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 6 элементов, то доля элементов выборки, обладающих этим свойством, будет равна Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 7 , которая называется выборочной долей или относительной частотой этого свойства в выборке. Можно доказать, что выборочная доля является несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли для соответствующего свойства.

Будем использовать ту же модель выборки, что и в предыдущих разделах. Пусть сделана выборка Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 8 из распределения Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 9 для случайной величины Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 10 . Независимые измерения или наблюдения Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 11 являются реализацией этой выборки.

При определении выборочной доли в нашей модели Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 12 принимает значение 1, если реализация этой случайной величины Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 13 обладает исследуемым нами свойством элементов генеральной совокупности. Будем считать успехом то, что выбранный элемент обладает исследуемым свойством, а неудачей – что не обладает. Можно считать, что все Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 12 имеют одинаковые распределения (это по определению выборки) с вероятностями успеха Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 15 , а вероятностью неудачи Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 16 .

Определим случайную величину Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 17 , т.е. общее число успехов или общее число случаев, когда выбранные в реализацию выборки элементы обладают исследуемым свойством. Математическое ожидание отдельной случайной величины Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 12 можно посчитать прямо по определению: Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 19 . Тогда дисперсия этой случайной величины равна по определению: Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 20 .

Следовательно, математическое ожидание случайной величины Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 21 равно: Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 22

Аналогично, дисперсия случайной величины Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 21 равна: Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 24

Теперь можно определить математическое ожидание выборочной доли Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 7 . Поскольку Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 26 является постоянной оно равно Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 27 . Получилось, что математическое ожидание выборочной доли равно генеральной доле, т.е. выборочная доля является несмещённой оценкой генеральной доли. Можно доказать, что эта же оценка является эффективной и состоятельной.

Дисперсия выборочной доли Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 7 поскольку Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 26 является постоянной равна Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 30 . Тогда стандартное квадратичное отклонение выборочной доли Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 31 . Получается, что выборочная доля является тем более эффективной оценкой генеральной доли, чем больше размер выборки. Но рост точности оценивания происходит по квадратичному закону, т.е. при больших выборках приращение точности существенно меньше, чем при малых. Поэтому для оценивания долей или процентов в генеральных совокупностях очень дорого и трудно делать большие выборки. Они себя не оправдывают из-за невысокого роста точности оценивания. В современной социологии чаще всего используют выборки объёмов от 1500-1600 респондентов, до 2000 респондентов, а наибольшими на практике являются выборки в 4000 респондентов. При более высоких объёмах выборки существенно возрастают затраты денег и времени на проведение исследований, а приращение точности оценивания генеральных долей происходит незначительное. Такие исследования проводить экономически невыгодно.

Приведённые формулы справедливы для повторных выборок. Для бесповторных выборок в них необходимо вносить корректировки.

В случае бесповторной выборки математическое ожидание выборочной доли совпадает с генеральной долей, как и в случае повторной выборки: Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 32 . Но для вычисления дисперсии и стандартного квадратичного отклонения выборочной доли для бесповторной выборки необходимо сделать поправки: Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 33 и Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 34 . Здесь Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 35 - объём выборки, а Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 36 - объём генеральной совокупности.

В большинстве исследований используют именно бесповторные выборки, чтобы обеспечить в них большее разнообразие информации из генеральных совокупностей.

Если объём выборки достаточно велик и при этом отношение объёма выборки к объёму генеральной совокупности Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 37 мало, то закон распределения выборочной доли Статистическая оценка вероятности или генеральной доли - Инвестирование - 38 будет близок к нормальному. Это свойство выборочных долей часто используют в проведении практических исследований.

Понятие интервальной оценки

При статистическом оценивании параметров генеральной совокупности важно знать, в каких границах могут меняться их значения. Для того, чтобы ответить на такого рода вопросы, оказывается недостаточно знать только значения точечных оценок параметров генеральной совокупности по статистикам выборок. Для ответов на такие вопросы формируются так называемые интервальные оценки параметров генеральных совокупностей.

Интервальной оценкой параметра генеральной совокупности является интервал, внутри которого с высокой вероятностью находится истинное значение этого параметра. Часто такие интервалы строятся вокруг значений точечных оценок параметров генеральных совокупностей по статистикам выборок. Такие интервалы фактически показывают, насколько значения параметров генеральных совокупностей могут отличаться от точечных значений выборочных статистик.

← Предыдущая страница | Следующая страница →