Поделиться Поделиться

Статистическая оценка генеральной дисперсии

По аналогии со статистической оценкой среднего в генеральной совокупности можно предположить, что статистической оценкой генеральной дисперсии будет выборочная дисперсия. Однако такой вывод не будет правильным.

Пусть сделана выборка Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  1 из распределения Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  2 для случайной величины Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  3 . Независимые измерения или наблюдения Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  4 являются реализацией этой выборки.

Обозначим Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  5 . Статистика Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  6 называется выборочным средним и используется в качестве точечной оценки среднего генеральной совокупности. Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  6 является также и случайной величиной. Реально для вычислений используется значение этой статистики Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  6 , которое получается как среднее арифметическое значений реализации этой выборки: Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  9 .

Обозначим Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  10 . Статистика Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  11 называется выборочной дисперсией, она является также и случайной величиной. Реально для вычислений используется значение этой статистики Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  12 , которое получается как дисперсия значений реализации этой выборки: Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  13 .

Докажем, что статистика Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  11 допускает следующее представление: Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  15 . Это представление обосновывается следующими алгебраическими преобразованиями:

Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  16

По свойствам дисперсии статистика Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  11 не изменится, если к каждой случайной величине из выборки Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  1 прибавить одну и ту же постоянную величину Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  19 . Действительно, в этом случае среднее сдвинется на ту же величину: Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  20 , все разности случайных величин Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  1 и среднего Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  22 не изменятся: Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  23 . Поскольку не изменятся все такие разности, не изменится и значение статистики Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  11 .

Поэтому, исследуя статистику Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  11 , мы можем ограничиться случаем, когда математическое ожидание каждой из случайных величин (а оно у них одинаковое, поскольку все они имеют одно и то же распределение) равно нулю. Для дисперсии аналогично преобразованию статистики Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  11 можно доказать, что дисперсия любой случайной величины Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  27 . Действительно, по определению дисперсии Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  28 . Раскроем скобки, пользуясь формулой квадрата разности: Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  29

Поскольку в нашем случае Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  30 , получается, что Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  31 . С другой стороны, дисперсия каждой случайной величины из выборки равна дисперсии генеральной совокупности: Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  32 . Следовательно, Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  33 . Кроме того, Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  34 , а в нашем случае нулевых математических ожиданий случайных величин Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  1 будет равно нулю и математическое ожидание случайной величины Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  36 . Поэтому дисперсия этой случайной величины равна: Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  37 .

Вычислим теперь математическое ожидание статистики Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  11 : Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  39 . Получилось, что статистика Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  40 является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  41 . А несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности будет статистика Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  42

Действительно, Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  43 .

Можно доказать, что статистика Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  44 является не только несмещённой оценкой генеральной дисперсии, но также и состоятельной её оценкой. Но можно также доказать, что эта оценка не является эффективной.

В соответствии с этой формулой несмещённой оценкой стандартного квадратичного отклонения генеральной совокупности является величина Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  45 .

Реализация несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности может быть выражена формулой: Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  46 . Здесь независимые измерения или наблюдения Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  4 являются реализацией этой выборки.

Заметим также, что при больших Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  48 различие между статистиками Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  40 и Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  50 будет незначительным. Поэтому при больших Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  48 для оценивания дисперсии генеральной совокупности можно использовать статистику Статистическая оценка генеральной дисперсии - Инвестирование -  40 . Это следует делать, когда смещение этой статистики ниже ошибки вычислений.

← Предыдущая страница | Следующая страница →