Поделиться Поделиться

Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности

Пусть сделана выборка Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  1 из распределения Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  2 для случайной величины Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  3 . Независимые измерения или наблюдения Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  4 являются реализацией этой выборки.

Обозначим Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  5 . Статистика Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  6 называется выборочным средним и используется в качестве точечной оценки среднего генеральной совокупности. Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  6 является также и случайной величиной. Реально для вычислений используется значение этой статистики Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  6 , которое получается как среднее арифметическое значений реализации этой выборки: Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  9 .

Докажем, что выборочное среднее является несмещённой оценкой среднего генеральной совокупности.

Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  10

Таким образом получилось, что Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  11 , т.е. математическое ожидание выборочного среднего равно математическому ожиданию или среднему значений в генеральной совокупности. Следовательно, выборочная средняя – это несмещённая оценка среднего в генеральной совокупности.

Можно доказать, что выборочное среднее является также эффективной и состоятельной оценкой средней генеральной совокупности.

Вычислим дисперсию для выборочной средней.

Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  12

В результате Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  13 , т.е. дисперсия средней по выборке равна одной n-ой от дисперсии генеральной совокупности. Тогда для стандартного квадратичного отклонения Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  14 , где Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  15 - стандартное квадратичное отклонение выборочного среднего, а Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  16 - стандартное квадратичное отклонение генеральной совокупности. Получилось, что при увеличении объёма выборки до n стандартное квадратичное отклонение выборочного среднего уменьшается в корень из n раз. Следовательно, для повышения эффективности выборочного среднего как оценки среднего генеральной совокупности нужно увеличивать объём выборки. Но при больших объёмах выборки большие увеличения выборки приводят к небольшому росту эффективности этой оценки, потому что стандартное квадратичное отклонение при этом уменьшается в корень квадратный из n раз.

Эти рассуждения и доказательства проведены в предположении, что выборка является повторной, только такие выборки позволяют каждый раз отбирать элемент генеральной совокупности независимо от предыдущих выборов. В случае повторной выборки достаточно большого объёма (большего 30) можно доказать, что случайная величина выборочное среднее Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  6 , являющаяся суммой достаточно большого числа одинаково распределённых случайных величин Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  1 , имеет закон распределения, близкий к нормальному.

В реальной ситуации выборку чаще всего делают бесповторной, чтобы получить в выборке большее разнообразие информации. Можно доказать, что и в случае бесповторной выборки выборочное среднее является несмещённой оценкой генерального среднего. Формулы для определения выборочного среднего для бесповторной выборки не меняются. Более того, если объём бесповторной выборки достаточно велик, но при этом выборка составляет незначительную долю генеральной совокупности, что бывает в очень больших генеральных совокупностях, то и в этом случае закон распределения выборочной средней Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  6 будет близок к нормальному.

Но в случае бесповторной выборки необходимо изменить формулы вычисления дисперсии и стандартного квадратичного отклонения выборочной средней Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  6 : Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  21 и Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  22 , где, как и прежде, n – объём выборки, а N – это объём генеральной совокупности. В случае повторной выборки аналогичные формулы не зависели от объёма генеральной совокупности в силу случайности формирования такой выборки. Если объём генеральной совокупности бесконечен, очень велик или выборка составляет малую долю от генеральной совокупности, то отношение Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности - Инвестирование -  23 будет очень мало или стремиться к нулю. В таком случае результаты вычисления дисперсии и стандартного квадратичного отклонения не будут отличаться от тех, которые получатся для повторной выборки.

Сравнение формул для повторной и для бесповторной выборок показывает, что дисперсия и стандартное квадратичное отклонение выборочной средней для бесповторной выборки меньше при одинаковом объёме выборки. Это означает, что бесповторная выборка более эффективна, чем повторная. Но этот эффект проявляется лучше для сравнительно небольших выборок.

← Предыдущая страница | Следующая страница →