Поделиться Поделиться

Вероятноcть хотя бы одного cобытия.

Вероятность появления хотя бы одного события - раздел Информатика, МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по всему курсу Вероятность Того, Что Произойдет, По Крайней Мере, Одно Из Событий ...

 

Вероятность того, что произойдет, по крайней мере, одно из событий Вероятноcть хотя бы одного cобытия. - Инвестирование - 1 ,

определяется по формуле:

Вероятноcть хотя бы одного cобытия. - Инвестирование - 1

Теорема 5.Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1, А2,…,Аn), независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

  P (A) = 1 – q1 × q2 ×... × qn. (4.8)

Пример 10.

Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2=0,7. Какова вероятность, что студент сдаст хотя бы один экзамен в сессию.

Решение.

Вероятность события «не сдать первый экзамен» равна:

q1=1–р1=1–0,8 = 0,2.

Вероятность «не сдать второй экзамен»: q2=1– р2=1–0,7=0,3.

Оба события независимы. Вероятность события Р(А), где событие А – «студент сдаст хотя бы один экзамен», вычисляется по формуле (4.8):

Р(А)=1–q1×q2 =1–0,2×0,3=1–0,06=0,94.

Пример 11.

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,7 и для третьего 0,75.

Найти вероятность:

1. Хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

2. Одного и только одного попадания в цель.

3. «Попадут в цель только два стрелка».

4. «Попадут в цель все стрелки одновременно».

5. Промаха всех стрелков одновременно.

Решение.

Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал первый, второй, третий стрелок. Из условия задачи следует, что:

Р(А) = 0,6; Р(В) = 0,7; Р(С) = 0,75.

1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна: Р(А + В + С).

Событие (А+В+С) – хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания в цель по формуле (4.8): P(A+B+C)=1- P(`A)×P(`B)×P(`C).

P(A+B+C)=1– (1–0,6)×(1– 0,7)×(1– 0,75)=1– 0,4×0,3×0,25 =1-0,03= 0,97.

2) Вероятность только одного попадания в цель.

Пусть D – событие, состоящее в том, что в цель попал только один стрелок. События «хотя бы одно попадание» и «одно попадание» – разные события. В задаче одно и только одно попадание – это событие D, состоящее из суммы событий: D=A×`B×`C+`A×B×`C+`A×`B×C.

Его вероятность из-за независимости стрельбы и несовместности слагаемых событий может быть определена по формулам (4.2а), (4.7):

Вероятноcть хотя бы одного cобытия. - Инвестирование - 1 .

Р(D)=0,6×(1–0,7)×(1–0,75)+0,7×(1–0,6 )×(1–0,75)+0,75×(1–0,6 )×(1– 0,7) = 0,205.

3) Вероятность того, что попадут в цель только два стрелка.

Пусть X – событие, состоящее в том, что в цель попали только два стрелка.

X=`A×B×C+`B×A×C+`C ×A×B.

Тогда вероятность того, что попадут в цель только два стрелка, равна:

Вероятноcть хотя бы одного cобытия. - Инвестирование - 1 .

P(X)=(1– 0,6)×0,7×0,75+0,6×(1– 0,7)×0,75+0,6×0,7×(1– 0,75)=0,21+0,135+0,105 =0,45.

4) Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.

Событие ABC – все стрелки попали в цель.

Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно равна:

P(A×B×C) = P(A)×P(B)×P(C) = 0,6×0,7×0,75 = 0,315.

5) Вероятность промаха всех стрелков одновременно Р( Вероятноcть хотя бы одного cобытия. - Инвестирование - 1 ).

Событие `A×`B×`C – все промахнулись. Вероятность промаха всех стрелков одновременно: P`(A×`B×`C)=0,4×0,3×0,25=0,03.

Для проверки правильности решения используют формулу (4.3) для полной группы событий:

Р(D) + P(X) + P(A×B×C) + Р(`A×`B×`C) = 0,205 + 0,45 + 0,315 + 0,03 = 1.

Похожие статьи