Поделиться Поделиться

Понятие определённого интеграла

Основные свойства интеграла . Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.

Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  1 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  2 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  3 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  4 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  5

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x), очевидно, будем иметь

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  6 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  7 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  8 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  9 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  10 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  11

после чего остается перейти к пределу при λ → 0.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  12 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  13 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  14

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  15 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  16 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  17 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  18 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  19

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = xm, то

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  20 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  21 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  22 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  23 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  24 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  25

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0.

Доказанную теорему можно высказать в более общей форме. Для этого нам понадобится расширить смысл символа интеграла.

Если f(x) - любая функция, определенная в точке a, то по определению полагаем

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  26 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  27 (11)

Таким образом, интеграл с совпадающими пределами равен нулю.

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a, b]. Тогда по определению полагаем

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  28 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  29 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  30 (12)

Таким образом, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак.

Теперь можем привести упомянутую более общую форму теоремы 3:

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [A, B]. Если a, b, c суть точки этого промежутка, то

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  31 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  32 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  33 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  34 (13)

В самом деле, если из точек a, b и c две (а тем более три) совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть же все эти точки различны. Если a < c < b, то дело сводится к теореме 3. Прочие случаи взаимного расположения точек a, b, c тоже легко свести к той же теореме. Пусть, например, c < b < a. Тогда

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  35 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  36 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  37 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  38

откуда

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  39 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  40 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  41 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  42

и остается дважды применить формулу (12).

Свойство интеграла, выражаемое теоремами 3 и 4, называется аддитивностьюего, как функции промежутка интегрирования.

Теорема 5. Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  43 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  44 , что

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  45 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  46 (14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  47 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  48 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  49

Так как при всех k будет mf(ξk) ≤ M, а xk+1 > xk, то m(xk+1 - xk) ≤ M(xk+1 - xk). Складывая такие неравенства и замечая, что

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  50 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  51 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  52

получим:

m(b - a) ≤ σM(b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  53 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  54 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  55

Таким образом, частное

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  56 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  57 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  58

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором aξb.

Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении . Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

Теорема 6. Если f(x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  59 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  60

Действительно, в этом случае оба сомножителя правой части формулы (14) неотрицательны.


___________________________________

* Если в интеграле Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  61 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  62 будет ab, то будем говорить, что порядок пределов интегрирования - нормальный.

Последний результат можно несколько уточнить.

Теорема 7. Если a < b, а f(x) - непрерывная неотрицательная функция, которая хотя бы в одной точке [a, b] отлична от нуля, то

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  63 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  64

В самом деле, пусть x0 (a < x0 < b) - такая точка, что f(x0) > 0. Возьмем столь малое δ > 0, чтобы при | x - x0 | < δ было f(x) > 0, что, очевидно, возможно, благодаря непрерывности нашей функции. Не ограничивая общности, можно принять, что ax0 - δ, x0 + δb. Тогда

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  65 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  66 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  67 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  68 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  69

Первый и третий интегралы правой части по предыдущей теореме неотрицательны, а второй интеграл по теореме о среднем представим в форме

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  70 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  71 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  72 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  73 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  74

и потому строго положителен.

Теорему 7 можно, очевидно, формулировать и так:

Теорема 8. Пусть f(x) - неотрицательная непрерывная функция, заданная в [a, b], причем a < b. Если

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  75 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  76

то f(x) всюду на [a, b] равна нулю.

В обеих теоремах 7 и 8 (в отличие от теоремы 6) нельзя отбросить условия непрерывности подинтегральной функции. Например, функция, которая в конечном числе точек [a, b] равна единице, а в остальных точках этого промежутка равна нулю, будет неотрицательной и нетождественной нулю, а интеграл от нее (как показано в пункте Определенный интеграл) равен нулю.

Теорема 9. Если ab, а f(x) и u·g(x) - две непрерывные функции, которые на [a, b] удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  77 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  78 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  79 (15)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования неравенство можно интегрировать почленно.

Действительно,

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  80 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  81 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  82 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  83 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  84

Если бы мы допустили, что a < b и что хоть в одной точке оказывается f(x) < g(x), то смогли бы и в (15) исключить знак равенства.

Теорема 10. Если ab и f(x) непрерывна на [a, b], то

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  85 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  86 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  87 (16)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подинтегральной функции.

В самом деле, интегрируя неравенств

- | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) |,

находим:

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  88 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  89 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  90 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  91 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  92

а это равносильно неравенству (16).

Из теоремы о среднем значении немедленно вытекает также следующая важная оценка интеграла :

Теорема 11. Если непрерывная функция f(x) для всех x между a и b удовлетворяет неравенству | f(x) | ≤ K, то

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  93 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  94 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  95

Отметим, наконец, что поскольку определенный интеграл есть постоянное число, вполне определяемое пределами интегрирования и подинтегральной функцией, то обозначение переменной интегрирования никакого значения иметь не может, так что символы

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  96 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  97 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  98 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  99 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  100

обозначают одно и то же число. Это небесполезно сопоставить с тем, что у интегралов неопределенных дело обстоит не так. Например,

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  101 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  102 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  103

Поэтому, сводя интеграл

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  104 Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  105

с помощью подстановки sin x = z к интегралу

Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  106

мы должны иметь в виду, что последний интеграл равен не Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  107 , а именно, Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  108 с тем, чтобы в этом выражении заменить z на sin x.

Метод решения определенного интеграла от четной функции
по симметричному относительно нуля отрезку

Рассмотрим определенный интеграл вида Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  109 . Легко заметить, что отрезок интегрирования Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  110 симметричен относительно нуля.

Если функция подынтегральная Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  111 является чётной , то интеграл Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  109 можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить : Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  113 .

Многие догадались, почему так, тем не менее, рассмотрим конкретный пример с чертежом:

Пример 1

Вычислить определенный интеграл Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  114
О чётности функции много говорилось в методическом материале Графики и свойства элементарных функций . Повторим один раз: функция является чётной, если для неё выполняется равенство Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  115 . Как проверить функцию на чётность? Нужно вместо «икс» подставить Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  116 .

В данном случае: Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  117
Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  118 , значит, данная функция является чётной.

Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  119 наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:
Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  120

А сейчас геометрическая интерпретация. Да, продолжаем мучить несчастную параболу….

Любая чётная функция, в частности Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  117 , симметрична относительно оси Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  122 :
Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  123

Определенный интеграл Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  114 численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а значит, симметричности её графика относительно оси Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  122 , достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые же половинки!
Именно поэтому справедливо действие Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  126

Аналогичная история происходит с любой чётной функцией Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  111 по симметричному относительно нуля отрезку:
Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  128

Некоторые скажут: «Да зачем это всё нужно, можно ведь и так вычислить определенный интеграл». Можно. Давайте вычислим:
Понятие определённого интеграла - Инвестирование -  129

Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит ошибку в знаках. Гораздо проще и приятнее подставить ноль. Замечу, что это еще был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже.

Кроме того, рассматриваемый прием часто применяется при вычислении двойных интегралов , тройных интегралов , где вычислений и так хватает.

Короткий разминочный пример для самостоятельного решения:

Вопрос. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона Лейбница. Примеры.

← Предыдущая страница | Следующая страница →