Поделиться Поделиться

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM.

По утверждению У.Шарпа, между двумя выделенными коэффициентами существует связь, которую можно описать следующим соотношением:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  1

где Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  2 – ковариация между i-м фактором и доходностью рыночного портфеля.

Теперь, Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  3 можно определить в следующей форме:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  4

Каждый коэффициент может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака ковариации доходности рыночного портфеля и соответствующего фактора. Каждый фактор, учитываемый в модели АТР, может содействовать как увеличению, так и уменьшению ожидаемой доходности рассматриваемого актива или портфеля.

Уравнение линии рынка ценных бумаг, используемое в CAPM, можно представить в виде:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  5

где Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  6 – ожидаемая доходность рыночного портфеля.

Это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения ATP с единственным фактором равным доходности рыночного портфеля с Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  7 .

Определение фактического риска портфеля

Для определения фактического риска портфелей могут использоваться следующие коэффициенты:

· Коэффициент Шарпа:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  8

где Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  9 - фактическая доходность портфеля и безрисковая ставка соответственно;

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  10 - фактическое стандартное отклонение портфеля

· Коэффициент Трейнора:


Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  11


Задачи с решениями

Задача 1. Компания А, выплачивает акционерам всю чистую прибыль. По акции компании А в текущий момент выплачен дивиденд в размере 100 руб., в дальнейшем, полагают, темп прироста составит 10%. Инвесторы полагают, что акции компании А должны приносить их владельцам доходность не ниже 20%. Определить цену акции.

Решение: При заданных условиях можно применить формулу Гордона и определить цену акции по формуле Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  12 (для r>g) . В результате получим следующее значение цены акции: Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  13

Задача 2 . Инвестор купил акцию за 1100 руб. и продал за два года через за 1200 рублей. За это время он получил два дивидендных платежа – 100 руб. и 120 руб. Определить ориентировочно, годовую доходность операции инвестора.

Решение: Ориентировочная доходность акции можно определить по формуле

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  14

где Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  15 , цена акции в момент продажи и покупки соответственно, Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  16 - средний дивидендный платеж за n лет.

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  17 0,104

чтобы определить годовую доходность,

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  18 .

В таблице Лапласа для Ф(-0,625) = 0,266. Для Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  19

Модель оценки стоимости активов

Задача 3.Определить ожидаемое значение доходности портфеля при следующих данных:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  20 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  21 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  22 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  10

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  20 – безрисковая ставка;

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  21 - ожидаемая доходность рыночного портфеля;

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  22 - стандартное отклонение доходности рыночного портфеля;

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  10 - стандартное отклонение доходности оцениваемого портфеля;

Решение: Согласно соотношению Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  28 , ожидаемая доходность портфеля может быть определена как Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  29

Задача 4.Доходность акций компании Альфа и рыночного портфеля представлена в таблице 3.5.7.1.

Таблица 3.5.7.1 Доходность акций компании Альфа и рыночного портфеля

Годы
доходность акций, % ( Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  30 ) -4
Доходность рыночного портфеля, %, ( Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  31 ) -2

Определить коэффициент бета акции ( Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  32 ) на основе смещенных оценок.

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  33 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  34

Определим выборочную дисперсию рыночного портфеля и ковариацию акции с рыночным портфелем (см. табл. 3.5.7.2).

Таблица 3.5.7.2 Выборочная дисперсия рыночного портфеля и ковариации акции

годы Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  30 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  36 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  37 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  31 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  39 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  40 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  41
-4 -8 -2 -6
-4 -2
    22,4

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  42 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  43

Коэффициент Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  32 определим из соотношения:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  45

Задача 5.Портфель состоит из акций типа А,Б,В с характеристиками: Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  46 ). Определить бету портфеля.

Решение:

Определим бету портфеля из соотношения

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  47

Рыночная модель

Задача 6.Акции компаний А и Б имеют следующие характеристики (см. табл. 3.5.7.3):

Таблица 3.5.7.3 Данные по акциям компаний

показатели А Б
Ожидаемые доходности в равновесном состоянии
Коэффициент чувствительности к фондовому индексу 1,2 0,8

Задание: Написать уравнение однофакторной модели АТР.

Решение:

Однофакторная модель имеет вид:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  48

где Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  49 - доходность актива при отсутствии влияния на него рыночного фактора (доходность актива с бетой, равной 0), Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  50 – премии за риск для рыночного индекса, Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  51 - коэффициент чувствительности доходности i-го актива к рыночному индексу .

На основе уравнения, запишем следующие соотношения:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  52

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  53

Запишем систему в матричной форме: Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  54

Тогда решение запишется как Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  55

Для нашей задачи:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  56 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  57 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  58

Запишем систему уравнений и найдем решение.

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  59

Теперь можно записать уравнение АРТ в форме:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  60

Задача 7.При сохранении условий предыдущей задачи. Имеется акция В с ожидаемой доходностью – 18 % и коэффициентом чувствительности к рыночному индексу - 0,9. Определить возможность получения арбитражной прибыли и если такая возможность существует, определить величину арбитражной прибыли для инвестора с 200 тыс. руб.. Примечание: на рынке существует возможность коротких займов .

Решение:

Из предыдущей задачи уравнение АТР имеет вид:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  60

Для акции В, ожидаемая доходность составляет:


Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  62

Арбитраж возможен, поскольку доходность акции В, в равновесном состоянии, выше, чем фактическая доходность.

Построим арбитражную схему следующим образом: сформируем портфель из акций А и Б в короткой позиции (займем деньги с обязательством предоставить покупателю портфель из акций А и Б в оговоренном количестве) и на вырученные деньги купим акции В. Затем, продадим акции В и купим на них акции А и Б для закрытия короткой позиции.

Найдем доли акций А и Б в коротком портфеле, риск которого должен совпадать с риском акции В, используя следующее соотношение:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  63 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  64

Где Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  65 - коэффициенты чувствительности акций к индексу;

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  66 доли акций А и Б в коротком портфеле

Выразим Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  67 и проведя подстановку в соседнее выражение получим:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  68 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  69

Доля акций А в коротком портфеле равна:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  70

Удельный вес акций Б в коротком портфеле составит 1 - 0,25 = 0,75.

Стоимость акций А составит Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  71 , стоимость акций Б составит Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  72 Инвестор занимает 20 000 руб. под портфель из акций А и Б и покупает акции В. В конце инвестиционного периода продаются акции В на сумму 20 000(1+0,18)=23 600 руб.

Покупая акции ,согласно короткому портфелю, инвестор уплатит следующую сумму

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  73

Арбитражная прибыль составит 23 600 – 23 250 – 350 руб.

Задача 8. Рассмотрим двухфакторную АРТ. Акции компаний А, Б, В, Г имеют характеристики, приведенные в таблице 3.5.7.4

Таблица 3.7.5.4 Данные об акциях компаний А, Б, В, Г

показатели А Б В Г
Ожидаемые доходности в равновесном состоянии  
Ожидаемые доходности без учета равновесного состояния      
Коэффициент чувствительности к рыночному индексу Х 0,4 0,6 0,9 1,2
Коэффициент чувствительности к рыночному индексу Y 0,9 1,2 0,4 1,5

Определить ожидаемую доходность акции Г, с учетом, что ситуация на рынке относительно этой акции будет стремиться к равновесной.

Решение:

Двухфакторную модель АРТ можно записать в следующей форме:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  74

где Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  49 - доходность актива при отсутствии влияния на него рыночного фактора (доходность актива с бетой, равной 0), Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  50 и Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  77 – премии за риск для рыночных индекса x и y соответственно, Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  78 и Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  79 - коэффициент чувствительности доходности i-го актива к рыночным индексам xи y соответственно .

В записанном уравнении 3 неизвестных, чтобы его разрешить, необходима система, включающая не менее уравнений с теми же неизвестными. В нашем случае, параметры для акций А, Б, и В помогут нам решить эту проблему. Помним, очень важно, что доходности этих акций соответствуют условиям равновесия на рынке. Запишем следующую систему:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  80

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  81

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  82

Запишем данные в матричной форме:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  83 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  84 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  85 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  86 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  87

Запишем систему уравнений в матричной форме : Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  54 Тогда решение запишется как Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  55 .

В развернутой форме:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  90 Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  85

Теперь мы знаем недостающие параметры АРТ и можем записать соотношение двухфакторное уравнение АРТ для акции Д:

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  92

а также, оценить доходность акции на равновесном рынке.

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  93

Как видим, акция Б недооценена и по отношению к ней можно совершить арбитражную операцию

Соотношение коэффициентов чувствительности в модели АРТ и коэффициентов бета модели CAPM. - Инвестирование -  94

← Предыдущая страница | Следующая страница →