Поделиться Поделиться

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении.

Инвестиционный портфель имеет характеристики, представленные в таблице 3.4.2.2

Таблица 3.4.2.2 Характеристики инвестиционного портфеля

Показатель Актив А Актив Б
Стандартное отклонение доходностей, %
Стоимость активов, тыс. руб. 1 200
Коэффициент корреляции доходностей -0,5

Определить риск портфеля в форме стандартного отклонения доходностей.

Решение:

Определим доли активов А и Б в портфеле:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  1 Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  2

Определим риск портфеля из соотношения:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  3

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  4

Задача 4. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей с учетом их характера связей их доходностей.

Инвестиционный портфель имеет характеристики, представленные в таблице 3.4.2.3

Таблица 3.4.2.3 Характеристики инвестиционного портфеля

Показатель Актив А Актив Б
Стандартное отклонение доходностей, %
Ожидаемая доходность активов, %

Определить доходность безрискового портфеля из данных активов.

Решение:

Безрисковый портфель из рисковых активов возможет только в случае, когда между активами существует тесная отрицательная связь доходностей, т.е. коэффициент корреляции равен -1. Учтем это в соотношении, определяющем риск портфеля из двух активов

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  5 Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  6

Учитывая, что Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  7 получим

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  8 Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  9

Теперь, определим ожидаемую доходность безрискового портфеля

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  10

Задача 5. Определяем риск и доходность портфеля для двух активов, учитывая, что один из активов (безрисковый), находится в короткой позиции.

Инвестор приобретает рискованный актив на сумму 1 200 тыс.руб. за счет собственных средств и занимает безрисковый актив на сумму 600 тыс.руб. по ставке 12% годовых и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А - 25% годовых, стандартное отклонение доходности 20%.

Определить риск и доходность портфеля.

Решение:

Определим удельный вес активов в портфеле:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  11 Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  12

Поскольку по активу Б происходить займ, его доля в портфеле учитывается со знаком минус, при этом общая доля активов в портфеле равна 1.

Ожидаемая доходность портфеля равна:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  13

Определим риск портфеля, учитывая безрисковый актив:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  14 0

Задача 6. Определяем риск и доходность портфеля для двух активов, учитывая, что один из активов безрисковый и находится в короткой позиции и подвержен валютному риску.

Российский инвестор приобретает рискованный актив X на сумму 10 000 $, купив доллары по курсу 30 руб./долл.. Стандартное отклонение доходности актива X равно 20%, стандартное отклонение валютного курса 5%. Коэффициент корреляции между доходностью акции и курсом доллара равен 0,1.

Определить риск доходности портфеля.

Решение:

В данном случае, мы не можем применить соотношение для определения риска портфеля, использованное ранее. Оба актива, входящие в портфель, содержат разные виды рисков (ценовой и валютный) и вносят его в портфель не частично, а полностью. В теории вероятностей, а также некоторых источниках, связанных с проблемой инвестирования, можно встретить следующую формулу[2]. Тогда:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  15

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  16

Задача 7. Решим задачу Марковица для трех видов ценных бумаг методом Лагранжа. Возьмем портфель из трех активов: А, Б, В. Ожидаемые доходности активов равны следующим: Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  17 . Связь между активам равна:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  18

Определить с помощью множителей Лагранжа оптимальный портфель, который при доходности портфеля на уровне 32 % обладает наименьшим риском.

Решение:

Запишем функцию Лагранжа для нашей задачи:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  19

В развернутом виде:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  20

Найдем и приравняем к нулю все частные производные:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  21

Подставим в нашу систему уравнений исходные числовые данные:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  22

Решить данную систему уравнения можно вручную, с помощью метода Гаусса, однако, в наше компьютеризированное время, это можно сделать на компьютере, с помощью Exel, MatLab и т.п.

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  23 Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  24 Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  25

Решение системы можно представить в форме: Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  26

Воспользуемся функциями Exel и получим следующий результат, представленные в таблице 3.4.2.4

Таблица 3.4.2.4 Результаты расчетов Exel

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  27 B W
0,000341 -0,00068 0,000341 0,022457 -0,46348 0,255154
-0,00068 0,001365 -0,00068 0,055085 -1,07304 0,689693
0,000341 -0,00068 0,000341 -0,07754 2,536519 0,055154
0,022457 0,055085 -0,07754 -2,14231 34,10294 -34,4509
-0,46348 -1,07304 2,536519 34,10294 -956,592 134,7014

Оптимальный портфель включает следующие доли активов Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  28

Развитие теории портфелей.

3.5.1 Модель ценообразования капитальных активов (CAPM).

CAPM позволяет оценить справедли вую доходность актива с учетом рисков, которую можно использовать в качестве коэффициента дисконтирования при оценке цены активов через денежные потоки или др. способом.

Предпосылки и ограничения модели CAPM:наличие эффективного рынка; ликвидность и делимость активов; отсутствие налогов, транзакционных издержек и возможности банкротства, цены активов не зависят от прошлых состояний; все инвесторы одинаково оценивают ожидаемую доходность на рынке, действуют рационально, стремятся максимизировать ожидаемую полезность, измеряют риск через дисперсию доходностей активов, имеют неограниченную возможность инвестирование и заимствование безрискового актив; рассматривается один момент времени.

Линия рынка капитала (CML- Capital Market Line) . CML - описывает зависимость между риском и ожидаемой доходностью актива в форме прямой линии, уравнение которой можно представить следующим образом:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  29

где a – соответствует ставке без риска Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  30 ;

b - тангенс угла наклона CML, определяющий отношение изменение значения функции к изменению значений ее аргумента:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  31

где Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  32 – доходность рыночного портфеля;

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  33 - риск рыночного портфеля в форме среднеквадратического отклонения.

Уравнение CML можно описать следующим образом:

Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  34 или Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  35

где Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении. - Инвестирование -  36 – доходность рыночного портфеля;

← Предыдущая страница | Следующая страница →