Поделиться Поделиться

Классическая портфельная теория Г.Марковица.

Основные понятия и гипотезы портфельных теорий.

Предпосылки классической теории выбора портфеля:

  1. Инвестор принимает решения только на один период;
  2. Портфель состоит только из рисковых активов;
  3. Для каждого актива можно определить ожидаемую доходность, стандартное отклонение и ковариацию доходностей любой пары активов;
  4. Доходности активов, рассматриваемые как случайная величины, могут характеризоваться нормальным распределением.
  5. Налоги и транзакционные издержки не учитываются

Анализ риска и доходности с помощью дисперсии

Инвестиционный портфель состоит из активов (финансовых инструментов). Риск- это возможность того, что ожидаемая доходность по рассматриваемому инвестиционному портфелю (отдельному активу) не будет получена. Мера риска – стандартное отклонение доходности портфеля (актива).

Предполагается:

· инвесторы предпочитают более высокие ожидания и выбирают дисперсию поменьше;

· существуeт n активов с случайными доходностями Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 1 .

Пусть ожидаемыми доходностями являются величины Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 2 . Из этих n активов можно сформировать портфель с весами Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 3 ( Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 4 -доля стоимости i-го актива в общей стоимости портфеля. В общем случае портфель можно определить как Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 5

Обозначим Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 6 - доходность портфеля, которая определяется как Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 7 . Так как Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 8 является случайной величиной, то и Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 6 также будет являться случайной величиной с средним Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 10 и дисперсией Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 11 , которые определяют следующим образом:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 12 Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 13

Где Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 14 - дисперсия случайной величины Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 8 , Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 16 ковариация случайных величин Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 8 и Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 18

Совокупный риск, если он измеряется дисперсией, можно разделит на две части:

· систематический риск Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 19 , связанный с корреляцией между доходностями активов;

· несистематический риск Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 20 , связанный только с индивидуальными дисперсиями активов.

При условии Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 21 , в портфеле исключаются короткие продажи.

Некоторые свойства портфеля

Если доходности активов некоррелированы, ( Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 22 ), то Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 23 стремиться к нулю, при условии, что портфель широко диверсифицирован. Например, при Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 24

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 25

Диверсификация имеет пределы. Предположим: а) все доходности имеют одинаковую дисперсию; б) коэффициенты корреляции являются постоянной величиной; в) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 24

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 27

Как можно видеть, Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 11 не может превышать Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 29

Из перечисленных свойств следует, что систематический и несистематический риск ведут себя по разному. Если число активов в портфеле увеличивается и он хорошо диверсифицирован, то портфель содержит только систематический риск

Риск портфеля, состоящего из двух активов

Если портфель состоит из двух активов, то его риск, в форме стандартного отклонения доходности портфеля можно определить из соотношения:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 30

Время  
Доходность  
Время  
Доходность  
Время  
Доходность  
А)  
Б)  
В)  
Доходности активов X и Y коррелируют со значением: А) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 31 Б) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 32 В) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 33  
X  
Y  
X  
Y  
X  
Y  
Рис. 3.4.1 Доходности активов при разных видах корреляции  
где индексами x и y обозначим активы, а Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 34 – ковариацию доходностей активов x и y (выше ковариацию мы обозначали как Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 35 ).

То же самое, выраженное через коэффициент корреляции, будет выглядеть следующим образом:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 36

r  
Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 37  
r  
r  
А)  
Б)  
В)  
X  
Y  
X  
Y  
А) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 38 Б) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 39 В) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 40
Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 37  
Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 37  
Рис. 3.4.2 Множества допустимых портфелей, состоящих из двух активов X и Y с разной корреляционной зависимостью:  
Можно выделить четыре связи (см. рис 3.4.1) между доходностями двух активов: 1) сильную положительную ( Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 43 ); 2) сильную отрицательную ( Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 44 ); 3) отсутствие связи Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 45 ; 4) положительные и отрицательные связи в интервале возможных значений, принимаемых Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 46 от -1 до +1. Поведение доходностей активов при разных видах связей (см. рис. ) определяет множество возможных портфелей с данными активами (см. рис 3.4.2.)

Если Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 43 , то риск портфеля описывается как:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 48

тогда Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 49

Если Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 44 , риск портфеля изменится:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 51

тогда Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 52

В данном случае можно получить безрисковый портфель. Для этого приравняем Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 23 к нулю:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 52 = 0

тогда Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 55

Поскольку Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 56 , выражение можно представить в форме:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 57

При этом, доля актива y будет равна:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 58

а доля актива x:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 59

Для портфеля с нулевой корреляцией

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 60

при этом Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 61

Риск портфеля из двух активов с минимальной дисперсией

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 62

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 63

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 64

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование - 65

← Предыдущая страница | Следующая страница →