Поделиться Поделиться

Классическая портфельная теория Г.Марковица.

Основные понятия и гипотезы портфельных теорий.

Предпосылки классической теории выбора портфеля:

  1. Инвестор принимает решения только на один период;
  2. Портфель состоит только из рисковых активов;
  3. Для каждого актива можно определить ожидаемую доходность, стандартное отклонение и ковариацию доходностей любой пары активов;
  4. Доходности активов, рассматриваемые как случайная величины, могут характеризоваться нормальным распределением.
  5. Налоги и транзакционные издержки не учитываются

Анализ риска и доходности с помощью дисперсии

Инвестиционный портфель состоит из активов (финансовых инструментов). Риск- это возможность того, что ожидаемая доходность по рассматриваемому инвестиционному портфелю (отдельному активу) не будет получена. Мера риска – стандартное отклонение доходности портфеля (актива).

Предполагается:

· инвесторы предпочитают более высокие ожидания и выбирают дисперсию поменьше;

· существуeт n активов с случайными доходностями Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  1 .

Пусть ожидаемыми доходностями являются величины Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  2 . Из этих n активов можно сформировать портфель с весами Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  3 ( Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  4 -доля стоимости i-го актива в общей стоимости портфеля. В общем случае портфель можно определить как Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  5

Обозначим Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  6 - доходность портфеля, которая определяется как Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  7 . Так как Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  8 является случайной величиной, то и Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  6 также будет являться случайной величиной с средним Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  10 и дисперсией Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  11 , которые определяют следующим образом:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  12 Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  13

Где Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  14 - дисперсия случайной величины Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  8 , Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  16 ковариация случайных величин Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  8 и Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  18

Совокупный риск, если он измеряется дисперсией, можно разделит на две части:

· систематический риск Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  19 , связанный с корреляцией между доходностями активов;

· несистематический риск Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  20 , связанный только с индивидуальными дисперсиями активов.

При условии Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  21 , в портфеле исключаются короткие продажи.

Некоторые свойства портфеля

Если доходности активов некоррелированы, ( Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  22 ), то Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  23 стремиться к нулю, при условии, что портфель широко диверсифицирован. Например, при Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  24

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  25

Диверсификация имеет пределы. Предположим: а) все доходности имеют одинаковую дисперсию; б) коэффициенты корреляции являются постоянной величиной; в) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  24

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  27

Как можно видеть, Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  11 не может превышать Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  29

Из перечисленных свойств следует, что систематический и несистематический риск ведут себя по разному. Если число активов в портфеле увеличивается и он хорошо диверсифицирован, то портфель содержит только систематический риск

Риск портфеля, состоящего из двух активов

Если портфель состоит из двух активов, то его риск, в форме стандартного отклонения доходности портфеля можно определить из соотношения:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  30

Время  
Доходность  
Время  
Доходность  
Время  
Доходность  
А)  
Б)  
В)  
Доходности активов X и Y коррелируют со значением: А) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  31 Б) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  32 В) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  33  
X  
Y  
X  
Y  
X  
Y  
Рис. 3.4.1 Доходности активов при разных видах корреляции  
где индексами x и y обозначим активы, а Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  34 – ковариацию доходностей активов x и y (выше ковариацию мы обозначали как Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  35 ).

То же самое, выраженное через коэффициент корреляции, будет выглядеть следующим образом:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  36

r  
Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  37  
r  
r  
А)  
Б)  
В)  
X  
Y  
X  
Y  
А) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  38 Б) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  39 В) Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  40
Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  37  
Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  37  
Рис. 3.4.2 Множества допустимых портфелей, состоящих из двух активов X и Y с разной корреляционной зависимостью:  
Можно выделить четыре связи (см. рис 3.4.1) между доходностями двух активов: 1) сильную положительную ( Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  43 ); 2) сильную отрицательную ( Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  44 ); 3) отсутствие связи Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  45 ; 4) положительные и отрицательные связи в интервале возможных значений, принимаемых Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  46 от -1 до +1. Поведение доходностей активов при разных видах связей (см. рис. ) определяет множество возможных портфелей с данными активами (см. рис 3.4.2.)

Если Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  43 , то риск портфеля описывается как:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  48

тогда Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  49

Если Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  44 , риск портфеля изменится:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  51

тогда Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  52

В данном случае можно получить безрисковый портфель. Для этого приравняем Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  23 к нулю:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  52 = 0

тогда Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  55

Поскольку Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  56 , выражение можно представить в форме:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  57

При этом, доля актива y будет равна:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  58

а доля актива x:

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  59

Для портфеля с нулевой корреляцией

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  60

при этом Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  61

Риск портфеля из двух активов с минимальной дисперсией

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  62

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  63

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  64

Классическая портфельная теория Г.Марковица. - Инвестирование -  65

← Предыдущая страница | Следующая страница →