Поделиться Поделиться

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Операции над числовыми величинами

символ Выполняемое действие  
+ Покомпонентное (поэлементное) сложение числовых массивов одинаковой размерности; добавление скалярной величины к каждому элементу массива
- Покомпонентное (поэлементное) вычитание числовых массивов одинаковой размерности; вычитание скалярной величины от каждого элемента массива
* Умножение матриц в соответствии с правилами линейной алгебры; умножение всех элементов массива на скаляр
.* Покомпонентное умножение элементов массивов одинаковой размерности
/ Деление скаляра на скаляр; покомпонентное деление всех элементов массива на скаляр; A/B=A*B ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 217 (A, B – квадратные матрицы одного порядка
\ A\B=A ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 217 *B (левое матричное деление, А – квадратная матрица)
.\ A. \В - покомпонентное деление элементов массивов одинаковой размерности
^ Возведение скаляра в любую степень; вычисление целой степени квадратной матрицы
.^ Покомпонентное возведение в степень элементов массива
Вычисление сопряженной матрицы
.’ Транспонирование матрицы

Приоритет операций.

Логические операции (кроме операции «Логическое НЕ», называемой также операцией отрицания) имеют самый низкий приоритет. Сведения о приоритете операций (в порядке убывания) приведены ниже:

1. Круглые скобки ( ),

2. Транспонирование (. ), транспонирование с комплексным сопряжением ( ), возведение в степень ( ^ ), поэлементное возведение в степень (. ^ ),

3. Логическое отрицание (~ ),

4. Умножение и деление (. *, ./ , .\, *, / , \),

5. Сложение и вычитание(+,-),

6. Операции сечения массива( : ),

7. Операции отношения (>, >=,<, <=,==, ~=),

8. Логическое И (&),

9. Логическое ИЛИ ( | ).

Отметим, что в одном выражении можно использовать все вышеперечисленные операции (арифметические, логические, операции сравнения), при этом последовательность выполнения операций определяется их расположением внутри выражения, их приоритетом и наличием круглых скобок (круглые скобки используются, в частности, для изменения приоритета операций в математических выражениях, причем степень вложения скобок не ограничивается.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Пусть ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 218 – исходная квадратная матрица. Матрица ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 219 (или ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 220 ) - обратная матрица по отношению к матрице ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 218 , они связаны следующим соотношением:

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 221 ,

где Е – квадратная единичная матрица такого же порядка, что и матрицы ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 218 и ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 219 .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 222

Рассмотрим простой пример.

Продемонстрируем на примере вычисление обратной матрицы методом неопределенных коэффициентов , который приводит к решению системы линейных уравнений.

Пусть исходная матрица А задана

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 223

Запишем матрицу ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 219 в виде

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 224

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 225

и ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 226 Умножим 1-ую строку матрицы на 1/2 и вычтем из второй строки,

умножим 1-ую строку матрицы на 5/2 и вычтем из третьей строки,

в результате получим

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 227

Умножим 2-ую строку матрицы на 17/7 и вычтем из третьей строки, в результате получим

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 228

Определитель матрицы

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 229

Матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравняем их и найдем все элементы обратной матрицы.

Приравняем элементы первых столбцов:

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 230 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 231

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 232

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 233

Аналогичным образом, приравнивая элементы второго и третьего столбцов, найдем

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 234

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 235

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 236

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 237

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 238

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 239

Ответ :

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 240

det=100

Более короткая форма записи вычисления обратной матрицы

Исходная матрица Расширенная матрица

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 241 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 242

Прямой ход

1-й шаг

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 243

2-й шаг

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 244

Определитель системы ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 245

Вычисление элементов 1-го столбца обратной матрицы

из 3-го уравнения: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 246

из 2-го уравнения: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 247

из 1-го уравнения: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 248

Вычисление элементов 2-го столбца обратной матрицы

из 3-го уравнения: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 249

из 2-го уравнения: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 250

из 1-го уравнения: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 251

Вычисление элементов 3-го столбца обратной матрицы

из 3-го уравнения: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 252

из 2-го уравнения: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 253

из 1-го уравнения: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 254

Ответ :

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ - Инвестирование - 240

det=100

Вычисление обратной матрицы в системе MATLAB

1)

A=[2 -3 1; 1 2 -6; 5 1 1]

A_INV=inv(A)

2)

A=[2 -3 1; 1 2 -6; 5 1 1];

disp(‘Исходная матрица А’)

fprintf(‘\n’)

for i=1:3

fprintf(‘%8.2f’,A(i,:));

fprintf(‘\n’)

end

A_INV=inv(A)

disp(‘Обратная матрица А_INV’)

fprintf(‘\n’)

for i=1:3

fprintf(‘%8.2f’,A_INV(i,:));

fprintf(‘\n’)

end

d=det(A);

fprintf (‘det A=%8.2f’,d)

← Предыдущая страница | Следующая страница →