Поделиться Поделиться

Вычисление объема тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b,
y = 0 и непрерывной кривой y = f(x), где Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 129 для Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 130 , вращается вокруг оси ОX. Объем полученного при этом тела вращения (рис. 4) вычисляется по формуле:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 131 . (14)

Если плоская фигура ограничена линиями x = a, x= b, y1 = f1(x) и
y2 = f2(x), где Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 132 для Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 130 , то объем полученного при ее вращении вокруг ОX тела (рис. 5) можно вычислить по формуле:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 133 . (15)

 
  Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 134

11. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y = f(x), где Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 130 . Если функция f′(x) и ее производная f′(x) непрерывны на промежутке [a; b], то длина кривой АВ вычисляется по формуле:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 135 . (16)

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 5

Задача 1 . Найти неопределенные интегралы:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 136 , Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 137 , в) Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 138 , Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 139 .

В примерах Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 140 правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

Задача 2 . Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

а) Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 141 , б) Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 142 .

Задача 3 . Вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры:

а) ограниченной в ДСК линиями l1: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 143 и l2: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 144 ;

б)ограниченной в ПСК линией l: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 145 .

Сделать чертежи.

Задача 4 . Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

l1: y = 2x2 и l2: y = 6x. Сделать чертеж.

Задача 5 . Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 146 , где Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 147 .

Решение задачи 1

а) Так как Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 148 , то используя формулу (3), получим:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 149 .

Проверим результат дифференцированием:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 150

следовательно, выполнено условие (1).

Ответ: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 151 = Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 152 .

б) Интеграл Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 153 относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 154

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 155 .

Проверим результат дифференцированием:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 156 Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 157

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 158 .

Ответ: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 153 = Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 159 .

в) Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 160 , отсюда

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 161 или Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 162 .

Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 163

Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом подставляя
в тождество "удобные" значения х (метод частных значений):

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 164

Из первого уравнения получим: А = 11/12. Почленно вычитая два последних равенства, получим: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 165 , и из последнего уравнения

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 166 .

Таким образом, Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 167

Переходим к интегрированию:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 168

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 169 .

Здесь использовано:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 170 ,

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 171 .

Проверим результат дифференцированием:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 172 Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 173 .

Ответ: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 174 = Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 175 .

г) Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 176

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 177 Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 178 .

Возвращаясь к переменной х, получаем:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 179

Ответ: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 180 = Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 181 .

Решение задачи 2

а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 182

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 183

следовательно, интеграл сходится и равен Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 184 .

Здесь использовано:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 185

Ответ: интеграл Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 141 сходится и равен Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 184 .

б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, так как х = 13– точка бесконечного разрыва подинтегральной функции. Поэтому

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 186

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 187 ,

следовательно, интеграл сходится и равен Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 188 .

Ответ: интеграл Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 142 сходится и равен Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 188 .

Решение задачи 3

а) Найдем точки пересечения кривых, для чего составим и решим систему Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 189 . Приравнивая правые части, получаем уравнение Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 190 , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения: x = 1, x = 3.

Построим чертеж (рис. 6). На рисунке видно, что Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 191 на промежутке [ 1; 3].

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 192 Используя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 193

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 194

Ответ: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 195 единиц площади.

б) Для построения кривой Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 145 в ПСК составим таблицу значений функции на промежутке Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 196 .

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 197 π/4 2π/4 3π/4 π 5π/4 6π/4 7π/4
Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 198 12,7 11,3 11,3 12,7

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 199 Построим чертеж в ПСК (рис. 7). Так как фигура ограничена кривой, заданной в полярной системе координат, то площадь фигуры, ограниченной заданной линией,вычислим по формуле (13):

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 200 .

Для Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 145 получаем:

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 201 Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 202 .

Ответ: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 203 единицы площади.

Решение задачи 4

Для построения фигуры Ф, ограниченной кривыми l1 и l2, нужно найти точки их пересечения, т. е. решить систему: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 204 . Приравнивая правые части равенств, получаем уравнение 2x2 – 6x = 0, решив которое, найдем абсциссы точек пересечения кривых: x = 0, x = 3.

Объем тела вращения, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси OX (рис. 8), можно найти как разность объемов двух тел по формуле (15):

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 205 Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 206

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 207

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 208 .

Ответ: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 209 единиц объема.

Решение задачи 5

Кривая задана уравнением Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 210 где Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 211 , поэтому ее длина вычисляется по формуле (16): Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 212 .

Для Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 213 получаем: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 214 , тогдадлина дуги кривой

Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 215

Ответ: Вычисление объема тела вращения - Инвестирование - 216 единиц длины.

Справочный материал по теме
"Дифференциальные уравнения"

← Предыдущая страница | Следующая страница →