Поделиться Поделиться

Вычисление определенного интеграла

Все методы интегрирования, используемые при нахождении неопределенных интегралов, применяются и при вычислении определенных интегралов.

Непосредственное интегрирование.

Пример 1.Вычислить интеграл

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 67 а) Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 68 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 69

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 70

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 67 b) Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 71 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 72

2. Метод подстановки (замена переменной) для определенного интеграла состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти дифференциал обеих частей замены;

3) найти новые пределы интегрирования;

4) все подынтегральные выражения выразить через новую переменную;

5) вычислить полученный интеграл.

Пример 2.Вычислить интеграл методом замены переменной

а) Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 73

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 74 Решение:Положим Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 75 , тогда Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 76 . Определим пределы интегрирования для новой переменной Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 77 при Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 78 получаем Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 79 при Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 80 получаем Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 81 . Вычислим получившийся интеграл:

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 74 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 82 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 83 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 84 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 83 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 85

Приложения определенного интеграла

а) Вычисление площадей плоских фигур

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 86 , прямыми Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 87 и отрезком оси Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 88 .

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 89

1) Пусть Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 90 непрерывная неотрицательная функция на отрезке Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 91 , тогда ее график расположен над осью Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 88 . Если фигура, расположенная над осью Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 88 является криволинейной трапецией, то ее площадь вычисляется по формуле:

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 92 (1)

2) Пусть Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 90 непрерывная неположительная функция на отрезке Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 91 , тогда ее график расположен под осью Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 88 . Если фигура, расположенная под осью Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 88 является криволинейной трапецией, то ее площадь вычисляется по формуле:

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 93 (2)

3) Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 90 и Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 94 и прямыми Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 95 , где и Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 96 . Тогда ее площадь вычисляется по формуле:

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 97 (3)

б) Вычисление объемов тел вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 88 криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 98 , где Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 99 , прямыми Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 87 и отрезком оси Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 88 вычисляется по формуле:

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 100 (4)

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 101

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 102 и Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 103

Решение: Построим параболу Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 102 и прямую Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 103 в одной координатной плоскости

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 104

Для определения абсцисс точек пересечения решим уравнение: Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 105 . Получаем Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 106 и Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 107 . Следовательно, Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 108 и Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 109 . На отрезке Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 110 имеем: Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 111 . Значит для нахождения искомой площади воспользуемся формулой (3):

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 112

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 113 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 114 (кв. ед.).

Ответ: Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 114 (кв. ед.).

Пример 2.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 115

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 116 Решение:Очевидно, что объем данного тела вращения равен разности объемов тел, полученных вращением криволинейных трапеций, соответствующих функциям Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 117 и Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 118 , Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 119 .

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 120 Обозначим эти объемы через Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 121 . Найдем их по формуле (4):

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 122 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 123 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 124

Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 67 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 125 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 123 Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 126

Искомый объем равен: Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 127

Ответ: Вычисление определенного интеграла - Инвестирование - 128 (куб. ед.)

← Предыдущая страница | Следующая страница →