Поделиться Поделиться

Вычисление площади посредством двойного интеграла

Площадь S плоской фигуры области D равна двойному интегралу по об­ласти D.

В прямоугольной системе координат: Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 143 .

В полярных координатах: Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 144 .

Пример 13.Найти площадь области, ограниченной линиями

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 145 Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 146

Решение.Сделаем рисунок 19, область D - это криволинейный треуголь­ник ABC. Область D будет правильная в направлении оси ОХ.

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 147

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 148

Рис. 19 Рис. 20

Пример 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 149

Решение.Определим точки пересечения данных кривых (рис. 20). В точке пересечения ординаты равны, т.е. Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 150 отсюда Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 151 . Получим две точки пересечения Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 152 . Область D - правильная в направлении .

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 153

Пример 15.Найти площадь области, ограниченной линиями

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 154

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 155

Рис. 21 Рис. 22

Решение.Построим данные окружности в полярной системе координат (рис. 21).

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 156

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 157

Пример 16.Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограни­ченную линиями:

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 158

Решение.Уравнения окружностей приведём к каноническому виду Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 159 и сделаем рис. 22,Переходя к полярной системе координат сделаем замену Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 160 Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 161 Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 162 . Получим Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 163 т.е. Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 164 отсюда следует, что Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 165 Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 166 от сюда следует, что Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 167

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 168

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 169

Вычисление объема тела посредством двойного интеграла

Объём вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основани­ем область D на плоскости хОу и ограниченного сверху поверхностью Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 170 (рис. 23),выражается двойным интегралом Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 171

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 172

Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25

Вычисление объёмов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объёмов нескольких вертикальных цилиндрических тел с образующими, параллельными оси Oz.

Пример 17. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 173

Решение.Данное тело (рис. 24)представляет вертикальный цилиндр, ко­торый сверху ограничен частью плоскости Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 174 а снизу - частью плоскости, заключённой между параболой Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 175 и прямой Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 176

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 177

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 178

Пример 18. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 179

Решение.Гиперболический параболоид Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 180 пересекает плоскость хОу Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 181 по двум прямым Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 182 он ограничивает тело, симметричное плоско­стей xOz и yOz. Объём четвертой части тела, расположенной в первой октаве (рис. 25),равен:

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 183

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 184

Вычисление массы, центра тяжести и моментов инерции плоской фигуры посредством двойного интеграла

Если Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 185 есть поверхностная плотность в точке Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 186 плоской фигуры (материальной пластинки), занимающей область D, то её масса m, координаты центра тяжести Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 187 и моменты инерции относительно осей Ох, Оу - Ix, I, и начала координат О –I0, выражаются формулами:

1) Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 188

2) Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 189 ,

где Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 190 - статистически моменты пластинки относительно осей Ох, Оу.

3) Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 191

Пример 19.Найти массу кругового кольца Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 192 если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния её до центра кольца, т.е.

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 193

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 194

Пример 19.Найти центр тяжести треугольника, ограниченного следую­щими прямыми: Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 195 . Плотность р = у (рис. 26).

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 196

Рис. 26

Решение.

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 197

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 198

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 199

Следовательно, Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 200

Центр тяжести размещается в точке пересечения медиан: Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 201

Задача 20.Найти моменты инерции треугольника, данного в условиях предыдущей задачи.

Решение.

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 202

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 203 Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 204

Вычисление площади посредством двойного интеграла - Инвестирование - 205

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

← Предыдущая страница | Следующая страница →