Поделиться Поделиться

Вычисление тройного интеграла

Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 55 а поверхность, ограничивающая эту область сверху, имеет уравнение Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 56 (рис.27).

Введём понятие трёхкратного интеграла Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 57 , по области V от функции трёх переменных Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 58 , определённой и непрерывной в области V. Пусть область V проектируется на плоскость Оху в область D, которая ограничена линиями:

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 59

Тогда трёхкратный интеграл от функции Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 58 по области V определя­ется так:

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 60

Сначала интегрируем внутренний интеграл по z, и после подстановки пределов интегрирования получаем функцию от х и у. Далее, вычисляется двойной интеграл от этой функции по области D.

Пример 21 . Вычислить трёхкратный интеграл Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 61 и построить область интегрирования.

Решение.Последовательно вычислим три обыкновенных (однократных) определённых интеграла, начиная с внутреннего:

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 62

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 63

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 64

Для построения области интегрирования данного трёхкратного интеграла напишем уравнения поверхностей, ограничивающих эту область. Приравнивая переменную интегрирования каждого интеграла его пределам, получим сле­дующие уравнения:

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 65

Это прямой цилиндр, образующие которого параллельны оси Oz (рис. 29).

Пример 20.Вычислить тройной интеграл Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 66 если область G

ограничена плоскостями: Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 67

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 68

Рис. 29 Рис. 30

Решение.Построим данную область. Это есть тетраэдр (рис. 30). Прове­дём прямую параллельно оси 0z через эту область. Нижняя плоскость, которую пересекает прямая, будет плоскость АВО, уравнение которого Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 69 . Верхняя граница, из которой выходит прямая, будет плоскость ABC, уравнение которо­го Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 70 Эти уравнения будут пределами внутреннего интеграла. Проек­цией всей области на плоскость Оху будет треугольник АВО. Следовательно,

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 71

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 72

Пример 21.Вычислить тройной интеграл Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 73 где область W ограничена поверхностью Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 74 .

Решение.Область W, ограниченная данной поверхностью, есть эллипсо­ид вращения (рис. 31). Его проекция на плоскость Оху есть круг Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 75 .Т.о.

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 76

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 77

Перейдём в полярную систему координат. Полагая

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 78 Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 79 Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 80 .

Получим:

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 81 Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 82

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 83

Рис. 31 Рис. 32

Пример 22.Вычислить тройной интеграл: Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 84 где область V ограничена поверхностями Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 85 .

Решение. Данная поверхностная область есть конус (рис. 32). Всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку конуса параллельно оси Оу, пере­секает его границу в двух точках, а проекция этого конуса на плоскость Oxz есть круг Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 86 . Меняя ролями z и у получим:

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 87

Переходя в полярную систему координат Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 78 Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 79 Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 88

получим:

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 89

2.5. Вычисление объёма тела с помощью тройного интеграла

Если подынтегральная функция Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 90 то объём области V вычисляется с помощью тройного интеграла:

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 91

Пример 23.Вычислить объём тела, ограниченного сферической поверх­ностью Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 92 и цилиндром Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 93 и плоскостью Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 94

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 95

Рис.33

Решение. На рис. 33 представлена область, объём которой надо вычис­лить. Любая прямая, проведённая внутри этой области параллельно оси Oz, пе­ресечет снизу поверхность Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 96 , а сверху Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 97 этой области. Эти уравнения будут пределами интегрирования внутреннего интеграла. Проекцией всей области на плоскость Оху будет круг (рис. 33). Уравнение границы этого круга можно записать в виде Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 98 . Вычислим Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 99 искомого объёма V. Тогда в качестве области интегрирования двойного интеграла придётся взять полукруг, границы которого определяются уравнениями

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 100

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 101

Перейдём в полярную систему координат Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 78 Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 79 Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 80 .

Уравнение окружности примет вид Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 102

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 103

В полярной системе координат границы области определяются уравне­ниями Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 104 Подынтегральная функция имеет вид

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 105

Получим

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 106

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 107

Пример 24.Найти объём тела, ограниченного данными поверхностями

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 108

Решение.Данные плоскости ограничивают шестигранник (рис. 34).

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 109

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 110

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 111

Здесь при вычислении двойного интеграла по области OABCD пришлось разбить её прямой BE параллельно оси ОХ, на две части.

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 112

Рис. 34 Рис. 35

Пример 25. Найти объём тела, ограниченного данными поверхностями.

Решение.Тело, ограниченное сферой Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 113 (с центром в точке Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 114 ) и конусом Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 115 , изображено на рис. 35. Любая прямая, проведён­ная внутри этой области параллельно оси 0z, пересечет снизу поверхность Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 116 , а сверху Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 117 этой области. Эти уравнения будут пре­делами интегрирования внутреннего интеграла. Проекцией всей области на плоскость Оху будет круг Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 118

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 119

Переходя к полярным координатам, найдём:

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 120

Вычисление тройного интеграла - Инвестирование - 121

← Предыдущая страница | Следующая страница →