Поделиться Поделиться

Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора. Статическая функция распределения. Статические оценки параметров распределения.

Определим основные понятия математической статистики.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка– набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n– число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Виды выборки:

Повторная– каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная– отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Замечание. Для того, чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведе-нии интересующего нас признака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка правиль-но представляла пропорции генеральной совокупности, то есть была репрезентативной (представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта вероятность попасть в выборку одинакова.

Первичная обработка результатов.

Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х1 п1 раз, х2п2 раз, …, хк – пк раз, причем Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора. Статическая функция распределения. Статические оценки параметров распределения. - Инвестирование - 96 где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х1, х2,…, хк называют вариантами , а п1, п2,…, пкчастотами . Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора. Статическая функция распределения. Статические оценки параметров распределения. - Инвестирование - 97 Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – стати-стическим рядом :

xi x1 x2 xk
ni n1 n2 nk
wi w1 w2 wk

Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную выборку . Для ее получения интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h, а затем находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Составленная по этим результатам таблица называется группированным статистическим рядом :

Номера интервалов k
Границы интервалов (a, a + h) (a + h, a + 2h) (b – h, b)
Сумма частот вариант, попав- ших в интервал   n1   n2   …   nk

Распределение функции.

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот : ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x1, n1), (x2, n2),…, (xk, nk), где xi откладываются на оси абсцисс, а ni – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а относительные (wi) частоты, то получим полигон

Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора. Статическая функция распределения. Статические оценки параметров распределения. - Инвестирование - 98 рис.1

относительных частот(рис.1).

По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события X < x.

Выборочной (эмпирической) функцией распределенияназывают функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,

Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора. Статическая функция распределения. Статические оценки параметров распределения. - Инвестирование - 99 , (15.1)

где пх – число вариант, меньших х, п – объем выборки.

Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x).

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:

1) 0 ≤ F*(x) ≤ 1.

2) F*(x) – неубывающая функция.

3) Если х1 – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при хх1; если хк – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > хк .

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма , то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами отрезки длиной ni /h (гистограмма частот) или wi /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора. Статическая функция распределения. Статические оценки параметров распределения. - Инвестирование - 100 Рис.2.

24. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном распределении. Коэффициент Стьюдента .

← Предыдущая страница | Следующая страница →