Поделиться Поделиться

Геометрическая вероятность

Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно воспользоваться понятием геометрической вероятности .

Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошен-ная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:

Геометрическая вероятность - Инвестирование - 152 (2.1)

где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:

Геометрическая вероятность - Инвестирование - 153 (2.1`)

где s – площадь части области, а S – площадь всей области.

В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:

Геометрическая вероятность - Инвестирование - 154 (2.1``)

где v – объем части тела, а V – объем всего тела.

3.Теоремы теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Полная группа событий. Противоположные события .

Теорема1. (теорема сложения). Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна

Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ). (2.2)

Доказательство.

Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, тА – число исходов, благоприятных событию А, тВчисло исходов, благопри-ятных событию В, а тАВчисло исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле (1.1):

Геометрическая вероятность - Инвестирование - 155

что и требовалось доказать.

Теорему1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С

Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)

Теорема 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

р(А) + р( Геометрическая вероятность - Инвестирование - 156 ) = 1. Доказательство.

Так как А и Геометрическая вероятность - Инвестирование - 156 образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в результате опыта, то есть событие А + Геометрическая вероятность - Инвестирование - 156 является достоверным. Следовательно,

Р( А + Геометрическая вероятность - Инвестирование - 156 ) = 1. Но, так как А и Геометрическая вероятность - Инвестирование - 157 несовместны, из (2.4) следует, что Р(А + Геометрическая вероятность - Инвестирование - 158 ) = р(А) + р( Геометрическая вероятность - Инвестирование - 159 ). Значит, р(А) + р( Геометрическая вероятность - Инвестирование - 156 ) = 1, что и требовалось доказать.

Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5).

← Предыдущая страница | Следующая страница →