Поделиться Поделиться

Геометрические критерии линейной зависимости

Основные понятия и формулы

I. Векторная алгебра

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 21 Вектор- направленный отрезок.

Векторы коллинеарными , если лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Три вектора называются компланарными , если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 22 - два вектора равны , если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

Линейные операции над векторами

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 23 СуммойГеометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 24 двух векторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 и Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 называется вектор, идущий из начала вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 в конец вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 при условии, что начало вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 приложено к концу вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 (правило треугольника).

Свойства:

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 27 1˚. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 28

2˚. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 29

3˚. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 30

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 31 4˚. Для каждого вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 существует

противоположный ему вектор Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 32 , такой, что Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 33 .

Разностьювекторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 и Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 будет вектор Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 34 ,

идущий из конца вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 к концу вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 .

ПроизведениеГеометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 35 вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 на

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 36 вещественное число Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 37 обладает свойствами:

5˚. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 38

6˚. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 39

7˚. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 40

8˚. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 41

Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости

Линейной комбинациейвекторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 42 называют выражение:

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 43 ,

где Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 44 - произвольные действительные числа.

Система векторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 42 называется линейно зависимой , если существуют действительные числа Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 44 , такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство:

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 45 . (*)

В противном случае, т.е. если линейная комбинация (*) обращается в ноль только при всех Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 46 , то система векторов называется линейно независимой.

Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации остальных.

Геометрические критерии линейной зависимости

Система двух ненулевых векторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 47 линейно зависима тогда, и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Система трех векторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 48 линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Базис и координаты

Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 49 Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно.

Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно:

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 50 .

При сложении двух векторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 51 и Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 52 их координаты (относительно любого базиса) складываются. При умножении вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 51 на любое число Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 37 все его координаты умножаются на это число.

Системой координат в пространстве называют совокупность базиса Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 53 и некоторой точки, называемой началом координат.

Вектор Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 54 , идущий из начала координат в точку Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 55 , называется радиус-вектором точки Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 55 .

Координатами точки Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 56 называются координаты вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 54 .

Таким образом, координаты радиус-вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 54 и координаты точки Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 55 совпадают.

Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат

Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.

Обозначения: Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 57 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 58

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 59 Такой базис называется ортонормированным (ОНБ). Векторы Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 60 называются базисными ортами. Зафиксируем точку О – начало координат и отложим от нее векторы Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 60 . Полученная система координат называется прямоугольной декартовой. Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора:

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 61

Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям базисных векторов, называются координатными осями: Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 62 – порождает Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 63 ; Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 64 – порождает Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 65 ; Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 66 – порождает Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 67 . Координаты точки М (вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 54 ) в декартовой системе координат по осям Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 63 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 65 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 67 называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.

Декартовы прямоугольные координаты Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 68 вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 равны проекциям этого вектора на оси Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 69 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 70 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 71 соответственно; другими словами,

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 72 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 73 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 74 .

Здесь Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 75 – углы, которые составляет вектор Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 с координатными осями Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 69 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 70 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 71 соответственно, при этом Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 76 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 77 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 78 называются направляющими косинусами вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 .

Вектор Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 79 представляет собой вектор единичной длины данного направления, или орт данного направления. Для направляющих косинусов справедливо соотношение:

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 80 .

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 81

Проекция вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 на ось l Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 82 равна

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 83 , где Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 84 - орт оси l.

Скалярным произведениемдвух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 85 .

Если Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 86 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 87 , то Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 88 .

Алгебраические и геометрические свойства:

1°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 89 .

2°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 90

3°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 91 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 92 .

4°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 93 , если Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 94 , и Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 95 , если Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 96 .

5°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 97 ; Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 98 .

6°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 99 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 100 .

7°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 101 = Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 102 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 103 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 104 .

8°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 105 : Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 106 - условие перпендикулярности.

9°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 107 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 108 - длина вектора.

10°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 109 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 110 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 111 – расстояние между двумя точками.

11°. Направляющие косинусы вектора: Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 112 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 113 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 114 ;

cos2 α + cos2 β + cos2 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 115 = 1

Упорядоченная тройканекомпланарных векторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 116 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 117 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 118 , приведенных к одному началу, называется правой, если из конца третьего вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 118 кратчайший поворот первого вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 116 ко второму Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 117 виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 119 правая Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 120 левая

При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется.

Если тройки Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 - правые, то Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 - левые.

При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки не меняется.

Векторным произведениемвектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 на вектор Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 называется вектор Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 122 , удовлетворяющий следующим трем требованиям:

1). Длина вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 равна произведению длин векторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 и Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 на синус угла между ними, т.е. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 123 .

2). Вектор Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 ортогонален к каждому из векторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 и Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 , т.е. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 и Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 .

3). Вектор Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 направлен так, что тройка Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 является правой.

Алгебраические и геометрические свойства:

1°. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 124 .

2. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 125 .

3. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 126 .

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 127 4. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 128 для любого вектора Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 .

5. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 129 = Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 130

6. Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 131 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 коллинеарен Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 .

Если Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 132 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 133 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 134 ,

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 135 .

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 136

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 137

Если Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 138 и Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 139 коллинеарны, то Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 140 .

Смешанное произведениенекомпланарных векторов Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 141 по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к одному началу.

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 142 положительно, если тройка Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 правая и отрицательно, если она левая.

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 143 Если же векторы Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 компланарны, то Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 25 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 26 Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 121 равно нулю: Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 144 .

Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 145 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 146 . Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 147

смешанное произведение зависит от порядка сомножителей, но не зависит от того, какие сомножители связаны первичным знаком векторного произведения.

Если Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 148 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 149 , Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 150 , то
Геометрические критерии линейной зависимости - Инвестирование - 151 .

← Предыдущая страница | Следующая страница →