Поделиться Поделиться

Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной состоит в следующем: значение производной функции Геометрический смысл производной - Инвестирование - 111 в точке Геометрический смысл производной - Инвестирование - 112 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке Геометрический смысл производной - Инвестирование - 112 , то есть:

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 113 , где Геометрический смысл производной - Инвестирование - 114 угол между положительным направлением оси Геометрический смысл производной - Инвестирование - 115 и касательной к графику функции Геометрический смысл производной - Инвестирование - 116 в точке Геометрический смысл производной - Инвестирование - 117 .

Уравнение касательной имеет вид:

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 118

Примеры решения задач

Пример 1.Составьте уравнение касательной к графику функции

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 119 в точке с абсциссой Геометрический смысл производной - Инвестирование - 120 .

Решение:

Найдем ординату точки касания: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 121

Найдем значение производной в точке Геометрический смысл производной - Инвестирование - 120 :

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 122 ; Геометрический смысл производной - Инвестирование - 123 .

Имеем искомое уравнение: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 124 , то есть Геометрический смысл производной - Инвестирование - 125

Исследование функций и построение графиков

Общая схема исследования функции:

1. Найти область D(y) , то есть те значения x, при которых функция определена.

2. Определить является ли функция чётной или нечётной.

Если f(-x)=f(x), то функция чётная (график будет симметричен относительно Оy)

Если f(-x)= - f(x), то функция нечётная (график будет симметричен относительно О)

3. Определить(если не затруднительно) точки пересечения с осями координат

С осью Оx: y=0, находим значение x С осью Оy: x=0, находим значение y

Найти асимптоты, если они имеются.

Наклонная асимптота – прямая вида Геометрический смысл производной - Инвестирование - 126 , где Геометрический смысл производной - Инвестирование - 127 ,

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 128 .

Вертикальная асимптота – прямая вида Геометрический смысл производной - Инвестирование - 129 , если Геометрический смысл производной - Инвестирование - 130 .

Горизонтальная асимптота – прямая вида Геометрический смысл производной - Инвестирование - 131 , если Геометрический смысл производной - Инвестирование - 132 .

5. Найти критические точки функции:

а) находим производную функции Геометрический смысл производной - Инвестирование - 133

б) приравниваем производную к нулю Геометрический смысл производной - Инвестирование - 134

6. Определить промежутки монотонности функции:

Разбиваем область определения на интервалы и определяем знак производной в каждом из интервалов:

Если Геометрический смысл производной - Инвестирование - 135 , то f(x) ­, если Геометрический смысл производной - Инвестирование - 136 , то f(x) ¯

7. Определить экстремумы функции, то есть определяем точки min и max, вычисляем значение функции в этих точках.

8. Найти критические точки 2 рода:

а) находим вторую производную функции Геометрический смысл производной - Инвестирование - 137

б) приравниваем вторую производную к нулю Геометрический смысл производной - Инвестирование - 138

9. Определить промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба:

а) разбиваем область определения на интервалы и определяем знак второй производной в каждом из интервалов.

Если, Геометрический смысл производной - Инвестирование - 139 то f(x)È , если, Геометрический смысл производной - Инвестирование - 140 то f(x)Ç

б) определяем точки перегиба и вычисляем значение функции в них

Построить график

Используя результаты исследования, соединяем полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек.

Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать функцию Геометрический смысл производной - Инвестирование - 141 и построить ее график.

Решение:

1. Геометрический смысл производной - Инвестирование - 142 .

2. Имеем: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 143 . Функция не является ни четной, ни нечетной, так как Геометрический смысл производной - Инвестирование - 144 и Геометрический смысл производной - Инвестирование - 145 .

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью Ox: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 146 , получаем уравнение: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 147

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 148

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 149

Значит Геометрический смысл производной - Инвестирование - 150 точки пересечения с осью Ox.

С осью Oy: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 151 , из равенства Геометрический смысл производной - Инвестирование - 141 получаем Геометрический смысл производной - Инвестирование - 146

Значит (0;0) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 152 точка пересечения с осью Oy.

4. Асимптот нет.

5. а) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 153

б) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 154

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 155

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 156

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 157 критические точки функции

6. Область определения функции разделится на три промежутка, определяем знак производной в каждом:

 
  Геометрический смысл производной - Инвестирование - 158


При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 159 функция убывает

При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 160 функция возрастает

7. Точки экстремума: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 161 , тогда Геометрический смысл производной - Инвестирование - 162

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 163 , тогда Геометрический смысл производной - Инвестирование - 164

8. а) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 165

б) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 166

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 167

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 168 критическая точка II рода

9. Область определения функции разделится на два промежутка, определяем знак второй производной в каждом:

 
  Геометрический смысл производной - Инвестирование - 169


При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 170 функция выпукла вниз

При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 171 функция выпукла вверх

При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 172 имеем точку перегиба, ее ордината Геометрический смысл производной - Инвестирование - 173

10. Построим график:

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 174 Геометрический смысл производной - Инвестирование - 175

Пример 2.Исследовать функцию Геометрический смысл производной - Инвестирование - 176 и построить ее график.

Решение:

1. Геометрический смысл производной - Инвестирование - 142 .

2. Имеем: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 177 . Функция является четной, так как Геометрический смысл производной - Инвестирование - 178 . Значит график будет симметричен относительно Геометрический смысл производной - Инвестирование - 179 .

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью Ox: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 146 , получаем уравнение: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 180 . Уравнение является биквадратным, пусть Геометрический смысл производной - Инвестирование - 181 , тогда Геометрический смысл производной - Инвестирование - 182 . Получившееся уравнение не имеет действительных корней. Значит, точек пересечения графика с осью Ox нет.

С осью Oy: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 151 , из равенства Геометрический смысл производной - Инвестирование - 176 получаем Геометрический смысл производной - Инвестирование - 183 . Значит (0;3) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 152 точка пересечения с осью Oy.

4. Асимптот нет.

5. а) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 184

б) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 154

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 185

4 Геометрический смысл производной - Инвестирование - 186

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 187 критические точки функции

6. Область определения функции разделится на четыре промежутка, определяем знак производной в каждом:

 
  Геометрический смысл производной - Инвестирование - 188


При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 189 функция убывает

При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 190 функция возрастает

7. Точки экстремума: Геометрический смысл производной - Инвестирование - 191 , тогда Геометрический смысл производной - Инвестирование - 192

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 193 , тогда Геометрический смысл производной - Инвестирование - 194

8. а) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 195

б) Геометрический смысл производной - Инвестирование - 166

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 196

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 197

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 198 критические точки II рода

9. Область определения функции разделится на три промежутка, определяем знак второй производной в каждом:

 
  Геометрический смысл производной - Инвестирование - 199


При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 200 функция выпукла вниз

При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 201 функция выпукла вверх

При Геометрический смысл производной - Инвестирование - 202 имеем точки перегиба, их ординаты Геометрический смысл производной - Инвестирование - 203

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 204

10. Построим график:

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 205 Геометрический смысл производной - Инвестирование - 206

Тема 1.2

Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл

Определение: Функция Геометрический смысл производной - Инвестирование - 207 , определенная на интервале Геометрический смысл производной - Инвестирование - 208 называется первообразной для функции Геометрический смысл производной - Инвестирование - 209 , определенной на том же интервале Геометрический смысл производной - Инвестирование - 210 , если Геометрический смысл производной - Инвестирование - 211 .

Определение: Совокупность всех первообразных Геометрический смысл производной - Инвестирование - 212 функции Геометрический смысл производной - Инвестирование - 209 на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом Геометрический смысл производной - Инвестирование - 213 , где Геометрический смысл производной - Инвестирование - 214 подынтегральная функция, Геометрический смысл производной - Инвестирование - 215 подынтегральное выражение, Геометрический смысл производной - Инвестирование - 216 переменная интегрирования.

Таким образом, Геометрический смысл производной - Инвестирование - 217 , где Геометрический смысл производной - Инвестирование - 218 любое действительное число.

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Геометрический смысл производной - Инвестирование - 219 .

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

← Предыдущая страница | Следующая страница →