Поделиться Поделиться

Главная часть бесконечно-малой.

Определение.Если Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 1 то функция Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 2 называется ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ бесконечно-малой Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 3 .

Фактически, это степенная функция, эквивалентная данной Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 3 . Если найти коэффициент Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 4 и степень Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 5 , то мы найдём такую степенную функцию, график которой наилучшим образом (среди всех степенных) похож на график функции Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 3 в окрестности точки.

Пример.Найти главную часть бесконечно-малой Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 6 в точке 0.

Решение.Так как точка 0, то Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 7 , то есть главная часть имеет вид Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 8 . Запишем отношение данной бесконечно-малой и «эталонной» степенной. Нужно потребовать, чтобы этот предел был 1, ведь мы ищем именно эквивалентную бесконечно-малую.

Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 9 . Преобразуем выражение с целью его упростить. Домножим и поделим на Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 10 , этим мы фактически можем заменить Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 11 на Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 10 . Параметры C и k пока просто переписываем, не меняя их в процессе преобразований.

Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 12 = Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 13 .

Полное сокращение всех Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 14 будет лишь в случае k=3, а иначе предел 0 или Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 15 , и не будет равен 1.

Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 16 , тогда С = 1. Итак, Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 8 = Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 17 .

Ответ. Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 18 .

Ниже изображены графики бесконечно-малой и её главной части:

как видно, вблизи (0,0) они практически неотличимы.

Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 19

Задачи на поиск главной части по методам и сложности похожи на вычисление lim, но фактически это обратная задача: при вычислении предела внутри нет параметров, а предел неизвестен, здесь же наоборот, известно, что предел равен 1, но внутри выражения неизвестные параметры C, k, которые надо найти, так, чтобы предел был равен 1.

Если учесть не только одну степенную функцию, но добавить ещё и последующие степени, то можно построить ещё более точное приближение. Это будет изучено позже, тема «формула Тейлора».

Непрерывность и точки разыва.

Односторонние пределы.

Бывают такие ситуации, когда функция определена только при Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 20 или Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 21 . В этом случае тоже можно вычислять предел, но область определения пересекается только с правой или левой полуокрестностью.

Определение. Число Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 22 называется правосторонним пределом функции Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 23 в точкеГлавная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 24 , если: Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 25 Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 26 , так, что при Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 27 выполняется: Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 28 .

Обозначается Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 29 .

Аналогично,

Определение. Число Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 22 называется левосторонним пределом функции Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 23 в точкеГлавная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 24 , если: Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 25 Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 26 , так, что при Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 30 выполняется: Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 28 .

Обозначается Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 31 .

Односторонние пределы очень полезны при изучении функций, так как существуют такие ситуации, когда график функции слева и справа от некоторого Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 32 стремится к разным ординатам.

Если односторонние пределы равны между собой, то существует предел функции в точке, если они разные, то предел не существует: ведь тогда Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 33 для одной полуокрестности, но для второй полуокрестности эта разность не может быть меньше чем Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 34 , она будет Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 35 .

Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 36

Представьте себе физический пример: температура 0 градусов. Если она понижается, проходя через 0, то есть до этого была положительна, то вода ещё не замёрзла, снега на улице нет. Если же она повышается и проходит через 0, например в марте, ситуация совсем иная - снег ещё не успел растяать. Как видно, ситуация при 0 градусов сильно зависит от того, какая температура была до этого.

Определение.Функция называется непрерывной в точке Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 24 , если в этой точке определено значение Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 37 , и оно совпадает как с правосторонним так и с левосторонним пределами:

Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 38 .

Классификация: устранимый разрыв, разрыв 1 и 2 рода.

Устранимый разрыв.

Точка разрыва называется устранимой, если односторонние пределы равны Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 39 причём равны конечному числу, но не существует Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 37 или оно не равно пределу.

Пример.Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 40 . Формально Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 41 вычислить нельзя, но предел есть, он раен 1. Получается график с одной выколотой точкой.

Пример.Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 42 . Точка Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 43 - точка устранимого разыва. Значение не существует, но предел есть.

Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 44 = Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 45 = Главная часть бесконечно-малой. - Инвестирование - 46 = 6.

Можно доопределить значение функции в одной точке, то есть устранить разрыв. Поэтому он и называется устранимым.

Неустранимые разрывы делятся на 2 типа:

← Предыдущая страница | Следующая страница →