Поделиться Поделиться

Граничные условия для дополнительных напряжений

На поверхности L граничные условия определяются формулами:

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 14 , Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 15 (6.8)

На контуре L1:

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 16 (6.9)

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 17

Составляющие дополнительных напряжений превращаются в нуль на бесконечности. Так как выработка находится на глубине H>> x, величиной координаты x по сравнению с превосходящей её величиной H можно пренебречь и уравнения (6.9) принимают более простой вид

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 18 (6.9)

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 19

Кроме того, можно отказаться от граничных условий (6.4) и (6.8), рассматривая напряжения не в полуплоскости а в плоскости. Такое предположение справедливо, так рассматриваются напряжения в окрестности выработки. Доказано, что влияние свободной от напряжений земной поверхности можно не учитывать, если выработке находится на глубине, удовлетворяющей неравенству:

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 20 .

Задача Кирша

Задачу распределения напряжений вокруг круглого отверстия в бесконечной пластине является одной из наиболее простых в теории упругости. можно решить разными способами

Решить её можно различными способами (например с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 21 и Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 22 ).

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 23

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 24

Задача распределения напряжений вокруг круглого отверстия в бесконечной пластине была решена Киршем в 1898 году.

Задача просто решается с использованием функций напряжений Эйри (датский астроном).

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 25 (6.10)

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 26

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 27

Решение уравнения (6.10) можно представить в виде:

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 28 (6.11)

Постоянные интегрирования A B C и D определяются из граничных условий. Опуская промежуточные математические преобразования, приведём формулы для напряжений:

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 29 ,

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 30 , (6.12)

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 31 .

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 32

6.3. Распределение напряжений вокруг выработок круглого

сечения

При λ=1 (гидростатическое поле напряжений) напряжения вокруг выработки определяются

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 33 , Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 34 , (6.13)

Напряжения не зависят от угла (полярная симметрия). Напряжения зависят только от радиуса r и не зависят от угла q.

Нормальные тангенциальные напряжения постоянные и определяются выражением:

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 35 (6.14)


Упражнения и вопросы

1. Определить выражения для определения напряжений на контуре выработки, т.е. при r=r0.

2. Определить напряжения в точке контура выработки при θ=0 и θ=π (на концах вертикального диаметра)

3. При каких условиях в этой точке возникают растягивающие напряжения, при каком коэффициенте Пуассона?

4. Определить напряжения в точке контура выработки при θ= π/2 и θ= 3π/2 (на концах горизонтального диаметра).

5. При каком значении λ достигаются максимальные напряжения сжатия на концах горизонтального диаметра.

6. Какова величина максимального коэффициента концентрации сжимающих напряжений?

7. На каком расстоянии от выработки влиянием её на напряжённо деформированное состояние массива породы можно пренебречь?

Ответы на упражнения и вопросы

1. Определить выражения для определения напряжений на контуре выработки, т.е. при r=r0.

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 36 , Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 37

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 38 ,

2. Определить напряжения в точке контура выработки при θ=0 и θ=π (на концах вертикального диаметра)

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 39

3. При каких условиях в этой точке возникают растягивающие напряжения, при каком коэффициенте Пуассона?

Ответ: λ<1/3. Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 39

4. Определить напряжения в точке контура выработки при θ= π/2 и θ= 3π/2 (на концах горизонтального диаметра).

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 40

5. При каком значении λ достигаются максимальные напряжения сжатия на концах горизонтального диаметра. Максимальный коэффициент имеет место в безраспорном массиве концентрации при λ=0

Ответ при λ=0 «безраспорный массив» и Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 41 .

6. Какова величина максимального коэффициента концентрации сжимающих напряжений? Ответ Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 42 .

7. На каком расстоянии от выработки влиянием её на напряжённо деформированное состояние массива породы можно пренебречь? Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 33

6.3. Выработки мелкого заложения

В предыдущих параграфах рассмотрены случаи заглубленных выработок, для которых справедливо соотношение (рис. 6.4 H>>r0.

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 43

Рис.6.4. Выработка мелкого заложения

Поле начальных напряжений в окружающем выработку массиве в этом случае принимается однородным ( Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 44 ).

Для выработки неглубокого заложения глубина H соизмерима с радиусом r0, поэтому на напряженно-деформированное состояние массива в окрестности выработки существенное влияние оказывает близость земной поверхности L. В этом случае геометрической моделью массива служит уже не плоскость, а полуплоскость.

Решения подобного класса задач получены И.Г. Арамановичем, А.М. Гольдбергом и др.

Нормальные тангенциальные напряжения на контуре сечения выработки круглого сечения описываются формулой:

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 45 (6.15)

Сравнивая с выражением, полученным ранее (см. предыдущую лекцию) убеждаемся, что первая часть формулы представляет собой величину напряжений для заглубленной выработки.

На рис. (6.5) показаны эпюры нормальных тангенциальных напряжений на контуре сечения выработки при H=2r0; v=0,4, вычисленных по формулам (6.4) и формулам для выработки глубокого заложения. Коэффициент бокового давления λ=0,67 определен по формуле:

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 46

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 47

Рис.6.5. Расчетная схема–левая сторона рисунка; эпюры тангенциальных напряжений Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 48 на контуре сечения выработки правая сторона рисунка.

Кривая 1– напряжения Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 48 с учетом влияния близости земной поверхности;

Кривая 2– напряжения Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 48 для заглубленной выработки.

Существенное влияние на напряженно-деформированное состояние незаглубленной выработки оказывает нагрузка q, приложенная на земной поверхности (рис. 6.5).

В таблице №1 приведены значения нормальных тангенциальных напряжений Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 49 на контуре сечения выработки при различных значениях глубины заложения выработки Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 50 и протяженности участка приложения нагрузки Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 51 .

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 52

Рис. 6.5. Эпюры нормальных тангенциальных напряжений на контуре сечения выработки мелкого заложения под действием нагрузки, приложенной к земной поверхности при H=2ro:

Кривая 1 – при l=1,25ro;

Кривая 2 – при Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 53 .

Таблица 1. Касательные напряжения на контуре выработки.

  Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 54 (градус) Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 55 при значениях Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 56
Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 57 Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 58
Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 59 =0.31 Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 59 =1.25 Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 59 =10 Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 59 =0.5 Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 59 =2.0 Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 59 =16
-3.597 -1.797 1.438 -1.00 -0.52 1.58
3.73 4.85 5.30 0.642 1.03 2.14
2.13 5.41 4.76 1.32 2.91 2.70
0.793 2.91 3.46 0.946 2.65 2.69
0.171 1.01 2.50 0.309 1.27 2.26
-0.126 -0.049 1.62 -0048 0.115 1.65
-0.209 -0.394 1.23 -0.171 -0.314 1.35

При Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 53 , т.е. в случае, когда вся упругая полуплоскость с отверстием равномерно сжата внешней нагрузкой q, тангенциальные напряжения на контуре отверстия описываются выражением

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 60 (6.16)

Напряжения только сжимающие. Максимальные напряжения действуют в точках C (рис. 2), в которых контурная окружность касается сторон описанного угла с вершиной в точке пресечения оси x с земной поверхностью.

Максимальные напряжения

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 61 (6.17)

Минимальные напряжения имеют место в своде и лотке выработки:

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 62 (6.18)

Взаимное влияние выработок.Упругая модель массива позволяет исследовать взаимное влияние выработок. Алгоритмы и программа расчета напряжений в массиве при произвольном количестве взаимовлияющих параллельных выработок круглого сечения и произвольном их расположении при различных видах воздействий разработан Н.Н. Фотиевой и А.Н. Козловым, для выработок некруглого сечения – Р.А. Дунаевским.

На рис. 6.6 показана расчетная схема и распределение напряжений в целике между двумя выработками круглого сечения.

Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 63

Рис. 6.6. Схема к определению напряжений в целике между двумя выработками.

Кривые 1, 2 – напряжения Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 64 и Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 65 при одиночной выработке с центром O1;

Кривые 3, 4 – напряжения Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 64 и Граничные условия для дополнительных напряжений - Инвестирование - 65 в целике после проходки второй выработки (O2).

← Предыдущая страница | Следующая страница →