Поделиться Поделиться

Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары

1. Декарт координатындағы ауданды есептеу.

[a,b] сегментінде үздіксіз y=f(x) функциясы оң болса, онда қисық сызықты трапецияның ауданы Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 269 (1) формуласымен табылады. Енді [a,b] сегментінде f(x)<0 болсын.(1) формула бойынша Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 270 (2) болады. (1) және (2) формуланы біріктіріп былай жазуға болады. Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 271 (3).

Қисық сызықты трапецияны шектеген қисық параметрлік теңдеумен берілген жағдайдағы ауданды есептейік. Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 272 (4). Мұндағы Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 273 болсын. Онда аудан Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 269 формуласымен табылады. Бұл интегралдағы айнымалыны ауыстырайық. Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 274 (4) формула бойынша Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 275 болады. Сондықтан Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 276 .

2. Полярлық координатасымен берілген қисықпен шектелген фигураның ауданын есептеу.

Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 277 доғасының қисығымен және сол доғаның шеткі нүктелерінің радиус векторларымен шектелген қисық сызықты сектордың ауданын есептеу керек болсын. Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 278 .

3. Дененің көлемін белгілі көлденең қимасы бойынша есептеу.

Бір денені қарастырайық. Оның Ох осіне перпендикуляр жазықпен қиғандағы қималардың аудандары белгілі болсын дейік. Бұл қималарды көлденең қималар деп атаймыз. Сонда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 279 .

Айналу денесінің көлемі. [a,b] сегментінде анықталған y=f(x) қисығы берілсін. аАВв қисық сызықты трапецияның Ох осінен айналуынан шыққан дененің көлемін есептеу керек болсын. Көлденең қималары радиусы айналу қисығының ординатасы у-тің абсолют шамасына тең дөңгелектер болады. Сондықтан қиманың ауданы Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 280 болады. Сонда айналу денесінің көлемі Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 281 болады.

Исықтың доғасының ұзындығы және доғаның дифференциалы.

[a,b] сегментінде анықталған f(x) функциясы берілсін және y=f(x) қисығы үздіксіз болсын. Осы қисықтың А және В нүктесіне дейінгі доғасының ұзындығы мына формуламен есептеледі: Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 282

Қисық параметрлік теңдеумен берілген жағдайдағы доғаның ұзындығын есептейік. Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 272 . Мұндағы Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 283 - үздіксіз туындылары бар үздіксіз функциялар болсын және Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 284 берілген аралықта нөлге тең болмайтын болсын. Онда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 285 .

Енді қисықтың теңдеуі полярлық координаталарымен берілгендегі доғаның ұзындығының формуласын берейік.

Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 277 қисықтың теңдеуі берілсін, мұндағы Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 286 -полярлық радиус, Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 287 -полярлық бұрыш. Сонда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 288 .

Айналу денесінің бетінің ауданы.

y=f(x) қисығының Ох осінен айналуынан шыққан бет берілсін. Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 289 аралығындағы сол беттің ауданының формуласы: Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 290 .

Егер қисық параметр түрде берілсе, Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 291 онда осы қисықтың Ох осінен айналуынан шыққан беттің ауданы төмендегідей формуламен есептеледі: Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 292 .

Меншіксіз интегралдар.

Анықталған интегралда интегралдау интервалдары шекті деп және интеграл астындағы функция сол аралықта шексіздікке айналмайды деп алдық. Ондай интегралдарды меншікті интегралдар деп атаймыз. Егер ең болмағанда жоғарыдағы екі шарттың біреуі орындалмаса, онда интеграл меншіксіз интеграл деп аталады.

1. Шектері шексіздік болып келетін интегралдар. f(x) функциясы Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 293 сәулесінде берілсін және кезкелген шекті [a,b] кесіндіде интегралданатын болсын.

Анықтама.Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 294 бар болса, онда ол f(x) функциясының жоғары шегі шексіздік болып келген меншіксіз интегралы деп аталады және Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 295 деп белгілейді. Сонымен, Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 296 . Егер осы шек бар болса, Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 295 меншіксіз интегралы жинақталады дейді. Егер бұл шек болмаса онда шашырайды дейді.

Сонымен қарастырылған интеграл жөнінде мынандай қорытынды жасауға болады.

Егер Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 297 болса, онда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 298 болады, яғни интеграл жиақталады.

Егер Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 299 болса, онда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 300 болады, яғни интеграл шашырайды.

Егер Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 301 болса, онда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 302 болады, яғни интеграл шашырайды.

1-Теорема . Егер х-тің барлық мәні үшін Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 303 теңсіздігі орындалса және егер Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 304 жинақталса, онда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 305 интегралданады, және сонымен бірге Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 306 болады.

2-Теорема . Егер х-тің барлық мәні үшін Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 307 теңсіздігі орындалса және егер Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 304 жинақсыз болса, онда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 305 -та жинақсыз болады.

3-Теорема . Егер Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 308 интегралы жинақты болса, онда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 305 интегралы да жинақты болады. Бұл жағдайда Дәріс. Анықталған интегралдың қолданулары - Инвестирование - 305 абсолютты жинақталады деп аталады.

Әдебиет

Қабдықайырұлы Қ. Жоғары математика. Алматы, «Қазақ университеті», 2004. (450-460 б.)

← Предыдущая страница | Следующая страница →