Поделиться Поделиться

Давление, энтропия и статистический интеграл

Из первого начала термодинамики

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 100 ,

и из определений энтропии и работы

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 101 ,

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 102 ,

находим

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 103 ,

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 104 . (2.32)

Подставляем в (2.31а)

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 105 ,

сравниваем с (2.30а) при Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 106

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 107 ,

получаем

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 108 , Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 109 . (2.33)

Используем (2.25)

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 110 ,

получаем давление

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 111 , (2.34)

и энтропию

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 112 . (2.35)

теоремА Бора – Ван-Левен (1919 г.)

Система зарядов, подчиняющаяся классической физике, не проявляет магнитных свойств . Теорему доказал Нильс Бор в 1911 г. и независимо мисс Хендрика Йоханна Ван Левен в 1919 г.

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 113

Нильс Бор (1885–1962)

Доказательство:

Используем гамильтониан системы N зарядов в электромагнитном поле

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 114 ,

где Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 115 – векторный потенциал магнитного поля в точке нахождения заряда Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 116 ; Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 117 – потенциальная энергия заряда Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 116 . Получаем статистический интеграл системы

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 118 .

Благодаря бесконечным пределам интеграла по импульсам при замене Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 119 статистический интеграл оказывается не зависящим от магнитного поля. Следовательно, классический газ зарядов не обладает магнитными свойствами.

Теорема не применима, если энергия взаимодействия U зависит от импульсов зарядов, а также, если учитываются квантовые свойства частиц.

ПРИМЕР 1

Идеальный газ из N атомов находится в объеме V. При температуре Т атомы совершают поступательные движения. Найти статистический интеграл, внутреннюю энергию и давление.

1 . Статистический интеграл атома

Используем

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 120 ,

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 121 .

Гамильтониан атома

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 122 .

Подстановка дает

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 123

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 124 .

Учтено, что координаты и импульсы разделены и

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 125 .

Используем интеграл Пуассона

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 126 ,

для интеграла в квадратных скобках находим Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 127 . В результате статистический интеграл поступательного движения частицы

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 128 . (П.3.1)

С учетом

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 129

получаем статистический интеграл поступательного движения газа

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 130 .

2. Внутренняя энергия

Вычисляем (2.26)

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 131 .

Из Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 132 находим

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 133 .

По формуле Стирлинга

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 134 , Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 135 ,

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 136 ,

тогда

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 137 .

С учетом (П.3.1)

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 138 ,

получаем

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 139 . (П.3.1а)

Из (2.26)

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 131

получаем

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 140 ,

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 141 .

Результат совпадает с выражением, найденным из микроканонического распределения, а также с известной формулой термодинамики идеального газа, что позволяет отождествить k с постоянной Больцмана.

3. Давление

Из (2.34) и (П.3.1а) находим

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 142

и получаем

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 143уравнение идеального газа ,

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 144 , Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 145 , Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 146 .


ПРИМЕР 2

Атомы двухатомной молекулы при температуре Т совершают колебания с частотой ω. Найти статистический интеграл колебаний.

Молекулу считаем линейным гармоническим осциллятором. Гамильтониан

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 147

подставляем в (2.17)

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 148 , Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 149 ,

находим

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 150 .

Используем интеграл Пуассона

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 126 ,

для интегралов получаем соответственно

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 151 , Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 152 .

В результате статистический интеграл колебательного движения молекулы

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 153 . (П.3.5)

ПРИМЕР 3

Молекула массой m состоит из двух одинаковых атомов, находящихся на расстоянии 2r и вращающихся вокруг центра масс при температуре Т. Найти статистический интеграл вращений.

При вращении изменяется угловое положение атомов. Используем сферические координаты с центром в точке симметрии молекулы. На рисунке черный круг – атом, второй атом в симметричной точке не показан.

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 154

При вращении изменяются углы φ и θ. Угловые скорости связаны с линейными скоростями

вдоль Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 155 скорость Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 156 ,

вдоль Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 157 скорость Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 158 .

Обобщенными координатами фазового пространства являются углы φ и θ. Для нахождения импульсов, соответствующих этим координатам, используем уравнение Лагранжа

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 159 ,

где функция Лагранжа

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 160

зависит от координаты и скорости.

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 161

Жозеф Луи Лагранж (1736–1865)

При отсутствии потенциальной энергии функция Лагранжа равна кинетической энергией. Для двухатомной молекулы получаем

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 162 ,

где

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 163

момент инерциимолекулы относительно прямой, перпендикулярной к оси молекулы и проходящей через центр масс. Обобщенные импульсы находим из уравнений

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 164 ,

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 165 ,

тогда

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 166 , Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 167 .

Результаты подставляем в

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 168 ,

и находим гамильтониан

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 169 .

Статистический интеграл частицы (2.17)

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 148 ,

где

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 170 ,

получает вид

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 171 .

Интегрируем вначале по j, затем по pq, pj и в конце по θ. С учетом

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 126

находим

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 172 ,

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 173 .

Статистический интеграл вращательного движениямолекулы

Давление, энтропия и статистический интеграл - Инвестирование - 174 . (П.3.6)

← Предыдущая страница | Следующая страница →