Поделиться Поделиться

Действия над комплексными числами

Равенство двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 означает равенство их действительных и мнимых частей: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 194 .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алге-браической форме определяются следующим образом. Если z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, то

1) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);

2) z1 – z2 = (x1 – x2) + i(y1 – y2);

3) z1 z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + х2y1);

4) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 195 .

Пример . Даны числа z1 = 4 – i и z2 = 1 + 3i. Вычислить Действия над комплексными числами - Инвестирование - 196 .

Найдем Действия над комплексными числами - Инвестирование - 197 , затем выполняем деление при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 198

(при вычислениях учтено, что Действия над комплексными числами - Инвестирование - 199 ).

Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:

если Действия над комплексными числами - Инвестирование - 200 , то

1) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 201

2) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 202 , если r2 ¹ 0;

если Действия над комплексными числами - Инвестирование - 203 то

3) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 204 (15)

4) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 205 .

В ответ записываются главные значения аргумента полученного
результата, заключенные в промежутке Действия над комплексными числами - Инвестирование - 206 .

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы 3

Задача 1 . Даны функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 207

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 208

Требуется:

1) используя графики основных элементарных функций, построить графики функций f (x) и g (x). Описать при помощи построенных графиков основные характеристики этих функций: ООФ, ОЗФ, четность, периодичность, промежутки монотонности и экстремумы;

2) составить сложные функции y = f ( g ( x )) и y = g ( f ( x ));

3) для функции y = f ( x ) найти обратную функцию y = f –1( x ),
построить графики обеих взаимно обратных функций в одной системе
координат и записать их ООФ и ОЗФ.

Задача 2 . Вычислить пределы, применяя правила раскрытия неопределенностей, основные теоремы о конечных пределах, теоремы обесконечно малых и бесконечно больших функциях. Ответы пояснить с точки зрения определения предела.

а) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 209 ; б) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 210

в) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 211 ; г) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 212 .

Задача 3 . Исследовать непрерывность функций в соответствии с зада-ниями.

а) Проверить, является ли функция Действия над комплексными числами - Инвестирование - 213 непрерывной в точках х1 = 0 и х2 = 3. В случае разрыва функции указать тип разрыва и сделать схематический чертеж в окрестности точки разрыва.

б) Построить график функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 214 используя график, записать промежутки непрерывности функции, перечислить точки разрыва и указать тип каждого из них.

Задача 4 . Даны уравнение Действия над комплексными числами - Инвестирование - 215 , комплексное число Действия над комплексными числами - Инвестирование - 216 и натуральное число n = 6. Требуется:

1) найти корни уравнения z1, z2 на множестве комплексных чисел;

2) найти комплексное число Действия над комплексными числами - Инвестирование - 217 в алгебраической форме;

3) получить тригонометрическую форму числа z0 и вычислить с ее помощью Действия над комплексными числами - Инвестирование - 218 . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 219 Решение задачи 1

1) Строим графики заданных функций,
используя известные графики основных элементарных функций и простейшие преобразования графиков.

Для построения графика Действия над комплексными числами - Инвестирование - 220 в качестве исходного используем график функции y = log3 x, для которой ООФ: х > 0, у(1) = 0, у(3) = 1, y(1/3) = –1 (рис. 13).

График функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 221 получаем из исходного графика Действия над комплексными числами - Инвестирование - 222 в соответствии
с преобразованием графиков

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 223

(перенос графика на а единиц в направлении
оси Ох). В данном случае график перемещаем
на 0,5 единиц вправо (рис. 14).

Для функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 224 ООФ: х > 0,5, у(1,5) = 0, у(3,5) = 1.

График Действия над комплексными числами - Инвестирование - 225 получаем из графика Действия над комплексными числами - Инвестирование - 224
в соответствии с преобразованием графиков Действия над комплексными числами - Инвестирование - 226
(перенос графика на А единиц в направлении оси ). В данном случае график перемещаем на 2 единицы вверх (рис. 15).

Для построения графика Действия над комплексными числами - Инвестирование - 227 в качестве исходного используем график функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 228 (рис. 16).

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 229 График функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 230 получаем из исходного графика в соответствии с преобразованием графиков Действия над комплексными числами - Инвестирование - 231 (сжатие графика в а раз в направлении оси Ох). В данном случае график сжимаем в 2 раза (рис. 17).

График функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 232 получаем из графика функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 233 в соответствии с преобразованием графиков Действия над комплексными числами - Инвестирование - 234 , Действия над комплексными числами - Инвестирование - 235 (растяжение графика
в А раз в направлении оси Оу). В данном случае график растягиваем в 3 раза (рис. 18).

Опишем при помощи пост-роенных графиков основные характеристики функций Действия над комплексными числами - Инвестирование - 225
и Действия над комплексными числами - Инвестирование - 232 в виде таблицы.

Таблица 2

Характеристика Действия над комплексными числами - Инвестирование - 236 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 237
ООФ (область определения функции) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 238 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 239
ОЗФ (область значений функции) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 240 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 241

Окончание табл. 2

Характеристика Действия над комплексными числами - Инвестирование - 236 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 237
Нули функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 242 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 243 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 244
Четность Общего вида Нечетная
Периодичность Непериодическая Периодическая с Действия над комплексными числами - Инвестирование - 245
Промежутки монотонности Действия над комплексными числами - Инвестирование - 246 при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 238 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 246 при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 247 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 248 при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 249
Точки экстремумов, экстремумы функции Экстремумов нет Действия над комплексными числами - Инвестирование - 250 – точки min, Действия над комплексными числами - Инвестирование - 251 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 252 – точки max, Действия над комплексными числами - Инвестирование - 253

2) Составим сложную функцию Действия над комплексными числами - Инвестирование - 254 для Действия над комплексными числами - Инвестирование - 255 , Действия над комплексными числами - Инвестирование - 256 , подставив в f (x) вместо аргумента х функцию g(x): Действия над комплексными числами - Инвестирование - 257 .

Аналогично составляем сложную функцию Действия над комплексными числами - Инвестирование - 258 : Действия над комплексными числами - Инвестирование - 259 , т. е. Действия над комплексными числами - Инвестирование - 260 .

3) Находим обратную функцию для функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 261 .
Так как функция является монотонно возрастающей на всей своей ООФ
(рис. 15), то для нее существует обратная функция Действия над комплексными числами - Инвестирование - 262 . Чтобы записать ее аналитическое выражение, решим уравнение Действия над комплексными числами - Инвестирование - 225 относительно х, т. е. получим выражение Действия над комплексными числами - Инвестирование - 263 :

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 264 .

Переобозначив аргумент обратной функции через х, а функцию через у, получим: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 265 – функцию Действия над комплексными числами - Инвестирование - 262 .

Для функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 266 ООФ: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 267 , ОЗФ: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 268 (табл. 2); для функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 269 ООФ: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 270 , ОЗФ: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 271 (для взаимно обратных функций промежутки ООФ и ОЗФ меняются ролями).

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 272 Построим графики обеих взаимно обратных функций Действия над комплексными числами - Инвестирование - 273 и Действия над комплексными числами - Инвестирование - 274 , контролируя их симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 19).

Ответы:

1) рис. 15, 18, табл. 2; Рис. 19

2) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 275 и Действия над комплексными числами - Инвестирование - 276 ;

3) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 277 для Действия над комплексными числами - Инвестирование - 278 ООФ: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 279 ОЗФ: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 280 для Действия над комплексными числами - Инвестирование - 262 ООФ: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 281 ОЗФ: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 282 графики на рис. 19.

Решение задачи 2а

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 283

Для раскрытия неопределенности Действия над комплексными числами - Инвестирование - 284 при n ® ¥ использовано правило 1: в числителе и знаменателе вынесены за скобки старшие степени n. При вычислении предела учтено, что при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 285 что Действия над комплексными числами - Инвестирование - 286 const = const, использованы теоремы о конечных пределах и теорема обесконечно больших функциях:

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 287 , если Действия над комплексными числами - Инвестирование - 288 .

С точки зрения определения бесконечного предела последовательности Действия над комплексными числами - Инвестирование - 289 полученный результат Действия над комплексными числами - Инвестирование - 290 означает, что для достаточно больших значений номера n члены последовательности un
становятся сколь угодно большими по модулю.

Решение задачи 2б

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 291

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 292

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 293

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 294 .

Здесь для раскрытия неопределенности Действия над комплексными числами - Инвестирование - 295 использовано правило 2: в числителе и знаменателе выделен критический множитель (х – 2).
Для его выделения в знаменателе использовано разложение многочлена
на множители, а в числителе домножение числителя и знаменателя
на выражение Действия над комплексными числами - Инвестирование - 296 , сопряженное числителю Действия над комплексными числами - Инвестирование - 297 .
При вычислении предела использованы теоремы о конечных пределах.

С точки зрения определения предела функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 298 при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 299 полученный результат Действия над комплексными числами - Инвестирование - 300 означает, что для значений аргумента х, достаточно близких к точке х = 2, значения функции будут становиться сколь угодно близкими к числу Действия над комплексными числами - Инвестирование - 301 .

Решение задачи 2в

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 302 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 303 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 304 .

Для раскрытия неопределенности Действия над комплексными числами - Инвестирование - 295 использовано правило 2:
в числителе и знаменателе выделен критический множитель(х – 0) = х. Для его выделения использован принцип замены эквивалентных бесконечно малых.

С точки зрения определения конечного предела функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 305 при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 306 полученный результат Действия над комплексными числами - Инвестирование - 307 означает, что для значений аргумента х, достаточно близких к точке х = 0, значения функции будут становиться сколь угодно сколь угодно близкими к числу 0.

Решение задачи 2г

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 308

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 309 .

При вычислении предела использовано дважды правило раскрытия неопределенности Действия над комплексными числами - Инвестирование - 310 , образованной делением целых многочленов одинаковой степени (см. формулу (8)):

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 311 ,

а также непрерывность функции ez: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 312 .

С точки зрения определения конечного предела функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 313 при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 314 полученный результат Действия над комплексными числами - Инвестирование - 315 означает, что для достаточно больших (по модулю) значений аргумента х значения функции будут сколь угодно близкими к числу e–10.

Ответы: а) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 316 ; б) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 317 ;

в) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 318 ; г) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 319 .

Решение задачи 3а

Чтобы проверить непрерывность заданной функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 320 в каждой из заданных точек х1 = 0 и х2 = 3, используем определение непрерывности функции в точке.

Найдем ООФ: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 321 . Проверим выполнение условия (9) поочередно в точках х1 и х2.

Точка х1 = 0:

1) х1 = 0 Î ООФ Действия над комплексными числами - Инвестирование - 322 , причем окрестность точки х1 также входит
в ООФ;

2) существует конечный предел Действия над комплексными числами - Инвестирование - 323 ;

3) справедливо Действия над комплексными числами - Инвестирование - 324 ;

следовательно, в точке х1 = 0 заданная функция непрерывна.

Точка х2 = 3:

1) х2 = 3 Ï ООФ Действия над комплексными числами - Инвестирование - 325 , следовательно, в точке х2 = 3 заданная функция не является непрерывной. Поскольку функция определена в окрестности точки х2, то эта точка является точкой разрыва функции.

Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы функции при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 326 :

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 327 ; Действия над комплексными числами - Инвестирование - 328

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 329 (при вычислении использовано предельное поведение показательной функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 330 при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 331 ). Так как один из односторонних пределов оказался бесконечным, делаем вывод, что разрыв
в точке х2 = 3 бесконечный (разрыв 2-го рода).

Построим схематический чертеж графика функции в окрестности точки разрыва с учетом значений односторонних пределов (рис. 20).

Решение задачи 3б

Запишем ООФ кусочно-заданной функции.

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 332

Построим график функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 333 , объединяя "куски" графиков
основных элементарных функций Действия над комплексными числами - Инвестирование - 334 (рис. 21–24).

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 335

Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23 Рис. 24

Анализируя график Действия над комплексными числами - Инвестирование - 336 (рис. 24), видим, что он представляет
собой непрерывную линию для всех х, кроме х = 0. Записываем промежутки непрерывности функции: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 337 и Действия над комплексными числами - Инвестирование - 338 .

В точке х = 0 функция имеет разрыв типа "скачок", так как не существует Действия над комплексными числами - Инвестирование - 339 , но при Действия над комплексными числами - Инвестирование - 340 существуют конечные односторонние пределы функции, не совпадающие между собой:

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 341 , Действия над комплексными числами - Инвестирование - 342 .

Ответы:

а) х1 = 0 – точка непрерывности функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 322 , х2 = 3 – точка
бесконечного разрыва функции, схематический чертеж графика функции
в окрестности точки разрыва на рис. 20;

б) график функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 336 – на рис. 24, промежутки непрерывности функции: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 343 и Действия над комплексными числами - Инвестирование - 344 , х = 0 – точка разрыва типа "скачок".

Решение задачи 4

1) Найдем корни уравнения Действия над комплексными числами - Инвестирование - 345 на множестве комплексных чисел:

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 346

(здесь использовано: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 347 ).

2) Чтобы найти комплексное число Действия над комплексными числами - Инвестирование - 217 , вычислим сначала Действия над комплексными числами - Инвестирование - 348 :

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 349 ( Действия над комплексными числами - Инвестирование - 350 – это число, сопряженное числу Действия над комплексными числами - Инвестирование - 351 , т. е. Действия над комплексными числами - Инвестирование - 352 ).

Затем находим числитель Действия над комплексными числами - Инвестирование - 353 и знаменатель Действия над комплексными числами - Инвестирование - 354 .

Теперь вычисляем w, используя домножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 355 – получили число w в алгебраической форме.

3) Комплексное число Действия над комплексными числами - Инвестирование - 356 задано в алгебраической форме z0 = x + yi, где x = 1, y = Действия над комплексными числами - Инвестирование - 357 . Получим тригонометрическую форму этого числа z0 = r (cos j + sin j), используя формулы (13) и (14). Вычислим модуль комплексного числа Действия над комплексными числами - Инвестирование - 358 и его аргумент:

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 359

Таким образом, Действия над комплексными числами - Инвестирование - 360 – тригонометрическая форма числа z0.

Для вычисления Действия над комплексными числами - Инвестирование - 361 используем формулу (15) возведения комплексного числа в натуральную степень:

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 362

Здесь аргумент Действия над комплексными числами - Инвестирование - 363 . Выбираем главное значение аргумента, принадлежащее промежутку Действия над комплексными числами - Инвестирование - 364 , используя формулу (11): Действия над комплексными числами - Инвестирование - 365 Действия над комплексными числами - Инвестирование - 366 при n = –1 получаем arg ( zn ) = 0. Тригонометрическая форма комплексного числа Действия над комплексными числами - Инвестирование - 361 для Действия над комплексными числами - Инвестирование - 367 имеет вид:

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 368 .

Подставив значения cos 0 = 1, sin 0 = 0, получим алгебраическую форму этого числа: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 369

Ответы: 1) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 370 2) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 371 ; 3) Действия над комплексными числами - Инвестирование - 360 ; Действия над комплексными числами - Инвестирование - 372

Справочный материал по теме "Дифференциальное исчисление функциЙ одной переменной"

Дифференцирование функций

Производной функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 373 в точке х называется конечный предел отношения приращения функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 374 к приращению аргумента Dx:

Действия над комплексными числами - Инвестирование - 375 , (16)

где Действия над комплексными числами - Инвестирование - 376 .

Другие обозначения производной: Действия над комплексными числами - Инвестирование - 377 .

Если существует производная функции Действия над комплексными числами - Инвестирование - 378 в точке х, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Дифференцирование функции – это процесс нахождения производной Действия над комплексными числами - Инвестирование - 379 . При дифференцировании используют таблицу производных и правила дифференцирования.

Таблица 3

Таблица производных основных элементарных функций

← Предыдущая страница | Следующая страница →