Поделиться Поделиться

Декартова система координат (ДСК) на плоскости

Расстояние |АВ| между двумя точками А(хА; уА В(хВ; уВ) (рис.1):

|AB| = Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 46 . (1)

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 47 Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1), т.е. Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 48 , то координаты точки C:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 49 . (2)

Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 50 =1, то координаты точки C:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 51 . (3)

В ДСК уравнение линии имеет вид F(х, у) = 0 или у = f(х).

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 52

Полярная система координат (ПСК)

Положение точки М в ПСК (рис.2) определяют две координаты: М Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 53 , где r полярный радиус

(r = |0M|), φ = Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 54полярный угол.

ОДЗ для полярных координат: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 55 или Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 56

Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то получим формулы связи между декартовыми координатами точки M(x; y) и ее полярными координатами М Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 53 :

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 57 и Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 58 (4)

Чтобы найти полярный угол φ по известному значению tgφ, нужно

учесть, в какой четверти координатной плоскости находится точка М:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 59 (5)

В ПСК уравнение линии имеет вид F(r, φ) = 0 или r = f(φ).

Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости:

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

у = k x + b. (6)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):

х = а. (7)

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 60 Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х0; у0­) (уравнение пучка прямых):

у y0 = k(x x0). (8)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х1; у1) и В(х2; у2):

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 61 . (9)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 62 . (10)

Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k1 x + b1 и у = k2 x + b2.

Условие параллельности прямых на плоскости:

k1= k2.. (11)

Условие перпендикулярности прямых:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 63 . (12)

Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то k1= 0 и обратно: если k2 = 0, то k1 не существует.

Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 64 , (13)

откуда Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 65 . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 66 .

Кривые второго порядка

Каноническое уравнение эллипса:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 67 .(14)

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 68 Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4):

O – центр эллипса;

с – фокусное расстояние;

F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы эллипса;

|А1А2| = 2a– длина большой оси;

а– большая полуось эллипса;

|B1B2| = 2b – длина малой оси;

b– малая полуось эллипса.

Для эллипса справедливо: c2= a2b2.

Число Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 69 называется эксцентриситетом эллипса Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 70 .

Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5).

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 71 В этом случае фокусы эллипса F1(0; –c), F2(0; c), эксцентриситет Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 72 и справедливо c2= b2a2.

Если a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:

x2 + y2 = R2 ,

где R= a= b.

В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 73 .

Каноническое уравнение гиперболы:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 74 . (15)

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 75 Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6):

O – центр гиперболы;

с – фокусное расстояние;

F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы гиперболы;

|А1А2| = 2a– длина вещественной оси;

а– вещественная полуось гиперболы;

|B1B2| = 2b – длина мнимой оси;

b– мнимая полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 76 .

Для гиперболы справедливо: с2= a2+ b2.

Число Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 69 называется эксцентриситетом гиперболы Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 77 .

Канонические уравнения параболы.

Существуют 4 вида канонических уравнений параболы:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 78 х2= 2ру. (16)   Фокус F(0; Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 79 ), уравнение директрисы: у = – Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 79 .
Рис. 7.
Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 80 х2= –2ру.(17)   Фокус F(0; – Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 79 ), уравнение директрисы: у = Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 79 .
Рис. 8.
Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 81 у2= 2рх. (18)   Фокус F( Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 79 ; 0), уравнение директрисы: х = – Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 79 .
Рис. 9.
Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 82 у2=–2рх . (19)   Фокус F(– Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 79 ; 0), уравнение директрисы: х = Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 79 .
Рис. 10.

Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).

Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат ХОY в точку O1(α; β). При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X1O1Y1 будут (х1; у1), где

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 83 (20)

Примеры таких преобразований приведены в таблице 2.

Таблица 2.

В системе координат ХОY В системе координат X1O1Y1
Окружность с центром в точке O1(α;β) и с радиусом R: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 84 Каноническое уравнение окружности: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 85
Эллипс с центром в точке O1(α;β): Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 86 Каноническое уравнение эллипса: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 87
Гипербола с центром в точке O1(α;β): Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 88 Каноническое уравнение гиперболы: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 89 .
Параболы с вершиной в точке O1(α;β) Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 90 или Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 91 . Канонические уравнения парабол: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 92 или Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 93

Примерный вариант и образец выполнения

Контрольной работы №1

Задача 1.Даны координаты вершин треугольника АВС:

А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2).

Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

Задача 2.Даны координаты точки А(3; 0), уравнение прямой l: 3x = 4 и число λ = 3 : 2.

Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат.

Задача 3.Дано уравнение кривой 2-го порядка: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 94 .

Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.

Задача 4.Даны уравнение кривой 2-го порядка Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 95 и уравнение прямой l: x + 2y –3 = 0.

Требуется: 1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду; 2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой; 3) построить обе линии в исходной системе координат.

Задача 5.Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК): Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 96 .

Требуется: 1) найти область определения функции Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 97 ; 2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 98 = 0, 1, ….,16, принадлежащих области определения функции Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 97 ; 3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось ОХ – с полярной осью ОР; 4) определить тип кривой.

Решение задачи 1.

1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1):

||= Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 99 = Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 100

2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (10):

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 101 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 102 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 103 y = –2x + 14 – уравнение ВС.

3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (9):

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 104

и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 105 .

Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (13) вычислим

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 106 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 107 .

4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (8) и условие перпендикулярности прямых (12). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK . Так как Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 108 , то Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 109 .

Уравнение AK получим по формуле (8):

у уА = kAK(xxA) Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 110 у – (–1) = Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 111 (x– (–3)) Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 112

x –2y + 1 = 0 – уравнение AK.

5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит в отношении 2 : 1, начиная от точки А, т.е. Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 113 .

Основание медианы – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3):

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 114 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 115 М(6; 2).

Теперь, когда координаты концов отрезка известны, найдем координаты точки P, которая делит в отношении Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 116 = 2, начиная от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2):

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 117 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 118 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 119

P(3; 1) – центр тяжести треугольника АВС.

6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 11). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 120

Ответы:

1) длина стороны || = Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 121 ;

2) уравнение стороны ВС: y = –2x + 14;

3) угол при вершине В: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 122 ;

4) уравнение высоты АK: x –2y + 1 = 0;

5) координаты центра тяжести треугольника P(3; 1);

6) чертеж на рис. 11.

Решение задачи 2.

Пусть М(х; у) – произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющую условию задачи (рис. 12), т.е. Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 123 где K – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую 3x = 4. Так как K лежит на прямой 3x = 4, то Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 124 K Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 125 .

Запишем условие Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 126 в координатной форме, используя формулу (1) для длины отрезка:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 127 .

Это и есть уравнение искомой траектории, т.к. ему удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) на этой траектории.

Для упрощения уравнения возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 128 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 129

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 130 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 131 , откуда получаем

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 132 – уравнение гиперболы с полуосями

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 133 .

Построим чертеж гиперболы в системе координат ХОY (рис. 13).

Ответ: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 134 – уравнение траектории. Чертеж на рис. 13.

Решение задачи 3.

Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 135 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 136 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 137 .

Получили уравнение эллипса с центром в точке O1(5; – 2) (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»).

Осуществив параллельный перенос осей координат в системе XOY по формулам: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 138 получим каноническое уравнение эллипса Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 139 в системе координат X1O1Y1 , где O1(5; –2) в системе XOY (рис. 14).

Найдем характерные элементы эллипса: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 140

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 141 .

Отсюда получаем: а = 3 – большая полуось эллипса, b= 2 – малая полуось эллипса, с = Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 142 – фокусное расстояние. Координаты фокусов эллипса в системе координат X1O1Y1: F1(– Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 142 ; 0), F2( Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 142 ; 0).

Найдем координаты фокусов в системе координат XOY:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 143

Таким образом, координаты фокусов эллипса в системе координат XOY:

F1(– Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 144 ; –2), F2( Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 144 ;–2).

Вычислим эксцентриситет эллипса: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 145

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 146 Изобразим на чертеже расположение эллипса относительно обеих систем координат (рис. 14).

Ответ: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 147 – каноническое уравнение эллипса, где Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 148

Характерные элементы:

O1(5; –2) – центр эллипса;

а= 3 – большая полуось эллипса, b= 2 – малая полуось эллипса;

с= Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 142 – фокусное расстояние;

координаты фокусов эллипса в системе координат XOY: F1(– Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 144 ; –2), F2( Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 144 ;–2);

эксцентриситет эллипса Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 149

Чертеж на рис. 14.

Решение задачи 4.

1) Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной у (квадрат переменной х в уравнении отсутствует):

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 150

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 151 .

Получили уравнение параболы вида Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 152 с вершиной в точке Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 153 (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»). Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 154 В результате получим каноническое уравнение параболы Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 155 в системе координат X1O1Y1.

2) Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат XOY. Для этого решим систему уравнений:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 156 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 157

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 158 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 159

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 160 Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А(3; 0) и В(1; 1).

3) Построим обе линии в системе координат XOY (рис. 15).

Ответы: 1) Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 161 ;

2) А(3; 0), В(1; 1);

3) чертеж на рис. 15.

Решение задачи 5.

1) Область определения функции Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 97 найдем из условия Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 162 :

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 163 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 164

При n = 0 получаем Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 165 при Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 166 интервалы Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 167 Следовательно, область определения Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 168

2) Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 97 в точках Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 169 , k = 0, 1, …, 16, входящих в область определения, т.е. в точках, где выполнено условие Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 170 , и заполним таблицу 3.

Таблица 3.

k Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 171 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 172 k Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 171 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 172
π/8 9π/8 3,7
2π/8 10π/8 2,8
3π/8 11π/8 1,5
4π/8 12π/8
5π/8 1,5 13π/8
6π/8 2,8 14π/8
7π/8 3,7 15π/8
Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 173 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 174

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 175 Для построения точек кривой в ПСК в каждом из направлений, задаваемых углом Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 176 , откладываем от полюса отрезок длины Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 177 . Соединив полученные таким образом точки, получаем график функции Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 96 в ПСК (рис. 16).

3) Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 96 , в декартовой системе координат.

Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 178 получим: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 179 . Следовательно, уравнение кривой Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 96 в ДСК имеет вид уравнения кривой 2-го порядка: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 180 .

4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 181 .

Это уравнение задает окружность с центром в точке O1(–2; 0) и с радиусом R = 2. Найдем координаты точки O1(–2; 0) в ПСК:

Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 182 Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 183 ,

(здесь выбираем n = 1, т.к. Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 184 четверти (формулы (5)).

Ответы:

1) область определения: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 185

2) чертеж на рис. 16;

3) уравнение кривой в ДСК: Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 180 ;

4) тип кривой – окружность с центром в точке Декартова система координат (ДСК) на плоскости - Инвестирование - 186 и с радиусом R = 2.

← Предыдущая страница | Следующая страница →