Поделиться Поделиться

Деление отрезка в данном отношении

Пусть в пространстве даны две точки М1 и М2. Говорят, что точка М делит отрезок М1М2. в отношении Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 1 , если Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 2

 
  Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 3

Точка М делит отрезок М1М2 в отношении Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 4 .

Точка N делит тот же отрезок М1М2 в отношении Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 5 .

Видимо, при Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 6 мы получим середину отрезка.

Если известны координаты начала М1 и конца М2 отрезка, то координаты точки М, делящей отрезок М1М2 в отношении Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 1 , находят по формулам:

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 7 , Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 8 Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 9 ,

где т. М11, у1, z1), т. М22, у2, z2), т. М(х, у, z).

Координаты середины отрезка получают при Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 6 :

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 10 Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 11 Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 12

Например, если т. А(-2, 3, 4), т. В(0, 1, -2), то координаты середины отрезка АВ получим из формул:

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 13

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 14

z= Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 15

Итак, точка С(-1, 2, 1) является серединой отрезка АВ.

3. Угол между векторамивычисляется по формуле

cos Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 16 .

4. Условие перпендикулярности двух векторов: х1×х21×у2+z1×z2=0.

5. Условие коллинеарностидвух векторов: Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 17

Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.


Пример № 1.

Даны три вершины параллелограмма: А(4;2), В(5;7), С(-3;4). Найти четвертую вершину D, противолежащую вершине В.

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 18 Для решения этой задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: диагонали его, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам.

Пусть точка М – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD.

Тогда точка М – середина отрезка АС; координаты точки М найдем из формул:

А


Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 19 Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 20

Итак, т. М( Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 21 .

Но точка М является серединой и отрезка ВD. Поэтому верны равенства:

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 22 и Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 23 .

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 24 ; Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 25 .

Из этих равенств находим координаты вершины D(-4, -1).

 
  Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 26

Проверить правильность решения можно, построив все вершины параллелограмма.

Пример № 2.

Найти центр тяжести треугольника, зная координаты его вершин:

А(1;4), В(-5;0), С(-2;-1).

Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения медиан, которая делит отрезок любой медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 27

Точка М делит отрезок СD в отношении Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 1 =2, а точка D – середина стороны АВ.

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 28 ; Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 29

Середина стороны АВ – точка D(-2;2). Координаты точки М найдем, рассматривая отрезок СD.

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 30

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 31

Итак, центр тяжести треугольника лежит в точке М(-2,1).

Построим все точки и убедимся, что решение верно.

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 32

Пример № 3.

Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6;), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D (3; 1; 4), есть квадрат.

Квадратом является четырехугольник, у которого стороны взаимно перпендикулярны и длины сторон равны.

Запишем координаты векторов, совпадающих со сторонами:

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 33 =(6-5; 4-2; 4-6)=(1; 2; -2)

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 34 =(4-6; 3-4; 2-4)=(-2; -1; -2)

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 35 =(3-4; 1-3; 4-2)=(-1; -2; 2)

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 36 =(5-3; 2-1; 6-4)=(2; 1; 2)

Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности для каждой пары смежных сторон-векторов.

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 37 =1×(-2)+2×(-1)+(-2)×(-2)=-2–2+4=0, что и доказывает, что Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 33 ^ Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 34 .

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 38 =(-2)×(-1)+(-1)×(-2)+(-2)×2=2+2–4=0, т. е. Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 34 ^ Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 35 .

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 39 =(-1)×2+(-2)×1+2×2=0, т. е. Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 35 ^ Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 36 .

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 40 =2×1+1×2+2×(-2)=0, т. е. Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 36 ^ Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 33 .

Мы установили, что стороны четырехугольника взаимно перпендикулярны. Покажем, что и длины сторон его равны.

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 41 ,

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 42

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 43

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 44

Итак, АВСD – квадрат. Заметим, что построением эту задачу не проверить, так как точки заданы не на плоскости, а в пространстве.

Деление отрезка в данном отношении - Инвестирование - 45

← Предыдущая страница | Следующая страница →