Поделиться Поделиться

Формулы Крамера для решения системы линейных

уравнений

Рассмотрим случай, когда число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (т.н. квадратная система):

Формулы Крамера для решения системы линейных - Инвестирование - 1 (1)

Матрицу, составленную из коэффициентов системы (1), А=(аij), называют основной матрицей системы, а её определитель Δ=det(A) называют определителем системы.

Теорема.Квадратная система (1) с отличным от нуля определителем имеет решение, и притом, единственное. Его можно найти по формулам

Формулы Крамера для решения системы линейных - Инвестирование - 2 (2)

где Δj – это определитель, получающийся из определителя Δ после замены в нем j-го столбца столбцом свободных членов системы (1).

Доказательство.Докажем сначала, что числа, определяемые формулами (2), дают решение системы (1). Возьмём левую часть i-го уравнения системы и подставим в нее эти числа, при этом определитель Δj разложим по j-му столбцу:

Формулы Крамера для решения системы линейных - Инвестирование - 3

Внутренняя сумма Формулы Крамера для решения системы линейных - Инвестирование - 4 (т.е. множитель, стоящий возле bk) в полученном выражении либо равна определителюΔ, если k=i, либо равна 0, если k≠j. Значит во внешней сумме только i-е слагаемое отлично от нуля и вся эта сумма равна bi·Δ. Откуда получаем, что левая часть i-го уравнения при подстановке (2) равна Формулы Крамера для решения системы линейных - Инвестирование - 5 , т.е. правой части этого уравнения. Итак, числа (2) дают решение системы (1).

Докажем теперь единственность решения (2), для чего предположим, что существуют числа с1,с2,…,сn такие, что:

Формулы Крамера для решения системы линейных - Инвестирование - 6 (3)

есть система верных числовых равенств. Выполним с этими верными равенствами следующее: 1е умножим на алгебраическое дополнение элемента а11, 2е – на дополнение элемента а21 и т.д. и почленно сложим. Получим следующее:

(a11A11+a21A21+…+an1An1)c1+(a12A11+a22A21+…+an2An1)c2+…

…+(a1nA11+a2nA21+…+annAn1 )cn=b1A11+b2A21+…+bnAn1.

Первая скобка в левой части равна определителю Δ, а все остальные скобки равны 0. Правая же часть есть разложение определителя Δ1 по первому столбцу. Итак, мы получили

Δ·с1 = Δ1.

Если же указанную процедуру повторить, взяв в качестве множителей алгебраические дополнения элементов а12, а22,, аn2, то получим

Δ·с2 = Δ2

и так далее по аналогии Δ·сn= Δn. Поскольку по условию Δ≠0, то полученные равенства эквивалентны соотношениям

Формулы Крамера для решения системы линейных - Инвестирование - 7

что и означает, что у системы (1) нет других решений кроме тех, что даются формулами Крамера. Теорема доказана.

Значение формул Крамера заключается главным образом в том, что в тех случаях, когда они применимы, эти формулы дают явное выражение для решения системы через коэффициенты и свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями определителей n-го порядка. К этому следует добавить, что, если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.

Замечание.Из полученных в процессе доказательства равенств

cj·Δ = Δj , j=1,2,…,n

следует важный вывод:

если Δ=0, а хотя бы один из Δ1, Δ2,…, Δn отличен от 0, то системы (1) решений не имеет; в случае же когда Δ=Δ12=…=Δn=0 система (1) может быть или несовместной, или неопределенной.

И еще один полезный вывод из теоремы: если однородная система n уравнений с n неизвестными имеет нетривиальное решение, то её определитель равен 0.

← Предыдущая страница | Следующая страница →