Поделиться Поделиться

Функция Грина волнового уравнения

Для нахождения функции Грина воспользуемся преобразованиями Фурье:

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 1

В частности, для фурье-образа дельта-функции получим:

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 2

Использование фурье-преобразований позволяет перейти от диф­ференциальных уравнений к алгебраическим по правилам замены опе­раторов алгебраическими множителями:

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 3

Функция Грина оператора Даламбера: Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 4

Перейдем к фурье-образу по времени:

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 5 - оператор Гельмгольца;

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 6

Перейдем к фурье-образу по координатам:

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 7

Связь фурье-образа с прообразом:

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 8 (10)  

Вычислим интеграл (10). Перейдем к сферическим координатам:

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 9

Проинтегрируем по углу:

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 10


Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 11 Данный интеграл находится с помощью теоремы о вычетах [5, с. 212]. Знаменатель имеет два полюса: k=+k0. Оба они лежат на действительной оси. Выберем контур интегрирования, как пока­зано на рис.З. Вычет подынтегральной функции в точке k0 (полюс первого порядка) равен

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 12

Тогда Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 13

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 14


Здесь воспользовались свойством четности дельта-функции. Перейдя к исходным переменным

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 15

получим:

Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 16


Сделаем замену переменных:



Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 17

где Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 18

Это дает: Функция Грина волнового уравнения - Инвестирование - 19


← Предыдущая страница | Следующая страница →