Поделиться Поделиться

Функция и уравнения Беллмана

Рассмотрим задачу (9.1.5)– (9.1.8) с измененными начальными условиями:

Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 1 Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 2 , (9.2.1)

Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 3 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 4 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 5 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 6 , (9.2.2)

Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 7 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 8 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 6 , (9.2.3)

Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 10 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 11 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 12 , (9.2.4)

где точка Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 13 и целое число Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 14 фиксированы. Через Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 15 обозначим множество управлений Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 16 , удовлетворяющих (9.2.4) и таких, что соответствующая траектория Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 17 из (9.2.5) удовлетворяет фазовым ограничениям (9.2.3). Пару Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 18 будем называть допустимой для задачи (9.2.1)–(9.2.4), если Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 19 . Допустимую пару Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 20 назовем решением задачи (9.2.1)–(9.2.4), если

Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 21

а Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 22 – оптимальным управлением, Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 23 – оптимальной траекторией задачи (9.2.1)–(9.2.4).

При Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 24 также и Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 25 хотя бы для одного Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 26 . Введем функцию

Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 27 Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 28 ,

называемую функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8). Ее область определения – множество Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 29 . Функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8) удовлетворяет рекуррентным соотношениям, называемымуравнением Беллмана .

Теорема 1 . Функция Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8) необходимо является решением уравнения

Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 30 Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 31 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 28 , (9.2.5)

где Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 33 ,

Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 34 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 26 , (9.2.6)

Верно и обратное: функция Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 36 , Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 31 . Функция и уравнения Беллмана - Инвестирование - 38 , определяемая условиями (9.2.5), (9.2.6), является функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8).

← Предыдущая страница | Следующая страница →