Поделиться Поделиться

Частные производные второго порядка

Определение. Частными производными второго порядка от функции Частные производные второго порядка - Инвестирование - 1 называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 2 Для практических примеров справедливо следующее равенство:Частные производные второго порядка - Инвестирование - 3

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверять правильность нахождения частных производных первого порядка.

Примеры.

а)Найти частные производные второго порядка функции Частные производные второго порядка - Инвестирование - 4

Решение.

1.Считаем переменную yконстантой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 5

2. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «икс», т.е. найдем вторую производную по «икс»:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 6

3.Считаем переменную хконстантой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 7

4. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «игрек», т.е. найдем вторую производную по «игрек»:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 8

5. Найдем смешанную производную «икс по игрек». Для этого первую производную по «икс» продифференцируем по «игрек».

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 9

5. Найдем смешанную производную «игрек по икс». Для этого первую производную по «игрек» продифференцируем по «икс».

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 10

б) Найти частные производные первого порядка функции Частные производные второго порядка - Инвестирование - 11 Проверить, что Частные производные второго порядка - Инвестирование - 12 Записать полный дифференциал первого порядка dz.

Решение.

1.Найдем частные производные первого порядка, применяя правила вычисления производной произведения, суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и табличные интегралы тригонометрических функций:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 13

2. Найдем смешанные производные второго порядка:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 14

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 15 Частные производные второго порядка - Инвестирование - 16

3. Составим полный дифференциал первого порядка:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 17

в)Показать, что данная функция Частные производные второго порядка - Инвестирование - 18 удовлетворяет уравнению Частные производные второго порядка - Инвестирование - 19

Решение.

1.Найдем частную производную заданной функции по «икс»:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 20

2. Умножим полученное выражение х2 :

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 21

3. От полученной функции найдем частную производную по «икс»:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 22

4. Найдем частную производную заданной функции по «игрек»:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 23

5. Вычислим вторую производную по «игрек»:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 24

6. Умножим полученную функцию на у2 :

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 25

7. Вычтем из результата, полученного в п.5, результат п.6:

Частные производные второго порядка - Инвестирование - 26

Что и требовалось показать.

← Предыдущая страница | Следующая страница →